The Ottomans achieved a decisive victory through superior planning, firepower, and a well-executed encirclement that overwhelmed the Hungarian forces. The Hungarian army, encouraged by the nobility to engage prematurely, launched a frontal assault that collapsed under coordinated Ottoman counterattacks. King Louis and much of the Hungarian aristocracy were killed, resulting in the destruction of the royal army and the end of the Jagiellonian dynasty in Hungary and Bohemia. The aftermath saw the partition of Hungary between the Ottoman Empire, the Habsburg monarchy, and the Eastern Hungarian Kingdom in 1541. The battle marked the beginning of sustained Ottoman–Habsburg wars and the decline of Hungary as an independent power. In Hungarian historical memory, Mohács remains a national tragedy, symbolised by the saying “More was lost at Mohács”. The map picture Johann Schreier: Battle of Mohács (1555) It depicts in detail the Hungarian Wagon fort and the Christian infantry, the Hungarian heavy cavalry and artillery, the Serbian hussars (the only Christian light cavalry units in the battle) Decline of the royal power in Hungary (1490–1526) After the death of the absolutist King Matthias Corvinus in 1490, the Hungarian magnates, who did not want another heavy-handed king, procured the accession of the notoriously weak-willed King Vladislaus of Bohemia, who reigned as King Vladislaus II of Hungary from 1490 to 1516. He was known as King Dobře (or Dobzse in Hungarian orthography), meaning "all right", for his habit of accepting, without question, every petition and document laid before him. The freshly-elected King Vladislaus II donated most of the Hungarian royal estates, régales, and royalties to the nobility. Thus the king tried to stabilize his new reign and preserve his popularity among the magnates. Given the naive fiscal and land policy of the royal court, the central power began to experience severe financial difficulties, largely due to the enlargement of feudal lands at royal expense. The noble estate of the parliament succeeded in reducing their tax burden by 70–80%, at the expense of the country's ability to defend itself. Vladislaus became the magnates' helpless "prisoner"; he could make no decision without their consent. Europe's largest standing mercenary army (the Black Army) of Matthias Corvinus was dissolved by the aristocracy. The magnates also dismantled the national administration systems and bureaucracy throughout the country. The country's defenses sagged as border-guards and castle garrisons went unpaid, fortresses fell into disrepair, and initiatives to increase taxes to reinforce defenses were stifled. Hungary's international role declined, its political stability shaken; social progress was deadlocked. The arrival of Protestantism further worsened internal relations in the country. In 1514, the weakened and old King Vladislaus II faced a major peasant rebellion led by György Dózsa, which was ruthlessly crushed by the nobles, led by John Zápolya. After the Dózsa Rebellion, the brutal suppression of the peasants greatly aided the 1526 Turkish invasion as the Hungarians were no longer a politically united people. The resulting degradation of order paved the way for Ottoman pre-eminence. Jagiellonian-Habsburg attempt to organize defence against the Ottomans King Louis II of Hungary married Mary of Habsburg in 1522. The Ottomans saw this Jagiellonian–Habsburg marital alliance as a threat to their power in the Balkans and worked to break.
Szabó László István író, költő, az informatika tudományok tanára
Közművelődés, kultúra, oktatás, könyvtár, pedagógia, műszaki informatika, számítástechnika
2026. június 3., szerda
Mohács 500
The Ottomans achieved a decisive victory through superior planning, firepower, and a well-executed encirclement that overwhelmed the Hungarian forces. The Hungarian army, encouraged by the nobility to engage prematurely, launched a frontal assault that collapsed under coordinated Ottoman counterattacks. King Louis and much of the Hungarian aristocracy were killed, resulting in the destruction of the royal army and the end of the Jagiellonian dynasty in Hungary and Bohemia. The aftermath saw the partition of Hungary between the Ottoman Empire, the Habsburg monarchy, and the Eastern Hungarian Kingdom in 1541. The battle marked the beginning of sustained Ottoman–Habsburg wars and the decline of Hungary as an independent power. In Hungarian historical memory, Mohács remains a national tragedy, symbolised by the saying “More was lost at Mohács”. The map picture Johann Schreier: Battle of Mohács (1555) It depicts in detail the Hungarian Wagon fort and the Christian infantry, the Hungarian heavy cavalry and artillery, the Serbian hussars (the only Christian light cavalry units in the battle) Decline of the royal power in Hungary (1490–1526) After the death of the absolutist King Matthias Corvinus in 1490, the Hungarian magnates, who did not want another heavy-handed king, procured the accession of the notoriously weak-willed King Vladislaus of Bohemia, who reigned as King Vladislaus II of Hungary from 1490 to 1516. He was known as King Dobře (or Dobzse in Hungarian orthography), meaning "all right", for his habit of accepting, without question, every petition and document laid before him. The freshly-elected King Vladislaus II donated most of the Hungarian royal estates, régales, and royalties to the nobility. Thus the king tried to stabilize his new reign and preserve his popularity among the magnates. Given the naive fiscal and land policy of the royal court, the central power began to experience severe financial difficulties, largely due to the enlargement of feudal lands at royal expense. The noble estate of the parliament succeeded in reducing their tax burden by 70–80%, at the expense of the country's ability to defend itself. Vladislaus became the magnates' helpless "prisoner"; he could make no decision without their consent. Europe's largest standing mercenary army (the Black Army) of Matthias Corvinus was dissolved by the aristocracy. The magnates also dismantled the national administration systems and bureaucracy throughout the country. The country's defenses sagged as border-guards and castle garrisons went unpaid, fortresses fell into disrepair, and initiatives to increase taxes to reinforce defenses were stifled. Hungary's international role declined, its political stability shaken; social progress was deadlocked. The arrival of Protestantism further worsened internal relations in the country. In 1514, the weakened and old King Vladislaus II faced a major peasant rebellion led by György Dózsa, which was ruthlessly crushed by the nobles, led by John Zápolya. After the Dózsa Rebellion, the brutal suppression of the peasants greatly aided the 1526 Turkish invasion as the Hungarians were no longer a politically united people. The resulting degradation of order paved the way for Ottoman pre-eminence. Jagiellonian-Habsburg attempt to organize defence against the Ottomans King Louis II of Hungary married Mary of Habsburg in 1522. The Ottomans saw this Jagiellonian–Habsburg marital alliance as a threat to their power in the Balkans and worked to break.
A kriptovaluta-piac titka
2026. június 2., kedd
Nyílvántartás pythonban
2026. június 1., hétfő
UAV-top secret programing
IQ-teszt 140 fölött
1. (Számelmélet – maradékok)
Találd meg az összes olyan pozitív egész számot n-re, amelyre:
n2+n+1n^2 + n + 1n2+n+1
osztható 7-tel.
2. (Kombinatorika)
Hány olyan 6 hosszú bináris sorozat létezik, amelyben nincs két egymást követő 1-es, és pontosan 3 darab 1-es van?
3. (Geometria)
Egy háromszög oldalai a,b,ca, b, ca,b,c, ahol:
a2+b2=c2+aba^2 + b^2 = c^2 + aba2+b2=c2+ab
Bizonyítsd be, hogy a háromszög szögei közül az egyik szigorúan nagyobb mint 90°.
4. (Sorozat – mély mintázat)
Határozd meg a sorozat következő elemét és általános képletét:
1, 4, 13, 40, 121, ?
5. (Logikai paradoxon)
Három ajtó van:
- az egyik mögött jutalom,
- kettő mögött semmi.
Egy őr mindig igazat mond, a másik mindig hazudik, de nem tudod melyik melyik.
Csak egy kérdést tehetsz fel egyetlen őrnek.
Fogalmazz meg olyan kérdést, amivel biztosan megtalálod a jutalom ajtaját.
6. (Valószínűség)
Egy dobozban 5 piros, 6 kék, 7 zöld golyó van.
Hány golyót kell legalább kihúzni visszatevés nélkül, hogy biztosan legyen:
- legalább 2 azonos színű pár,
- és legalább 1 zöld?
7. (Függvény – diszkrét)
Legyen:
f(n)=f(n−1)+
ahol f(1)=1,f(2)=2f(1)=1, f(2)=2f(1)=1,f(2)=2.
Határozd meg f(6)f(6)f(6)-ot.
8. (Számrendszer-logika)
Egy szám 12-es számrendszerben:
(2A7)12(2A7)_{12}(2A7)12
Konvertáld 10-es számrendszerbe, és határozd meg, osztható-e 7-tel.
9. (Invariáns gondolkodás)
Egy táblán egy lépésben bármelyik számot növelheted 1-gyel, de ezzel együtt egy másikat csökkentesz 2-vel.
Lehet-e így elérni, hogy minden szám egyenlő legyen, ha az elején:
(1,2,3,4)(1, 2, 3, 4)(1,2,3,4)
10. (IMO-stílusú bizonyítás)
Bizonyítsd vagy cáfold:
Ha egy egész szám négyzete páros, akkor maga a szám is páros.
🧠 1. feladat
(számelmélet)
Keressük:
n2+n+1≡0(mod7)n^2 + n + 1 \equiv 0 \pmod{7}n2+n+1≡0(mod7)
Próbáljuk n=0..6n = 0..6n=0..6 (mod 7):
- 0 → 1
- 1 → 3
- 2 → 7 ≡ 0 ✔
- 3 → 13 ≡ 6
- 4 → 21 ≡ 0 ✔
- 5 → 31 ≡ 3
- 6 → 43 ≡ 1
✅ Megoldás:
n≡2 vagy 4(mod7)n \equiv 2 \text{ vagy } 4 \pmod{7}n≡2 vagy 4(mod7)
🧠 2. feladat
(kombinatorika)
6 hosszú bináris sorozat, 3 db 1-essel, nincs "11".
Elhelyezzük a 3 db 1-est 4 helyre úgy, hogy ne legyenek szomszédosak:
Pozíciók száma:
C(4,3)=4C(4,3) =
✅ Válasz: 4
🧠 3. feladat
(geometria)
a2+b2=c2+aba^2 + b^2 = c^2 + aba2+b2=c2+ab
Rendezzük:
c2=a2+b2−abc^2 = a^2 + b^2 - abc2=a2+b2−ab
Koszinusztétel:
c2=a2+b2−2abcosγc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gammac2=a2+b2−2abcosγ
Összehasonlítva:
−2abcosγ=−ab-2ab\cos\gamma = -ab−2abcosγ=−ab cosγ=12\cos\gamma = \frac{1}{2}cosγ=21
Ez csak akkor igaz, ha a másik szög > 90° (mert a háromszög másik szöge lesz obtúz).
✅ Válasz: a háromszög tényleg tompaszögű
🧠 4. feladat
(sorozat)
1, 4, 13, 40, 121, ?
Mintázat:
an=3an−1+1a_n = 3a_{n-1} + 1an=3an−1+1
121 →
121⋅3+1=364121 \cdot 3 + 1 = 364121⋅3+1=364
Általános:
an=3n−12a_n = \frac{3^n - 1}{2}an=23n−1
✅ Válasz: 364
🧠 5. feladat
(logikai paradoxon)
Klasszikus “hazug/igaz őr” trükk:
Kérdés:
„Ha a másik őrt kérdezném, melyik ajtó a jutalom, mit mondana?”
Majd a másik ajtót választod.
🧠 6. feladat
(valószínűség)
Színek:
- Piros: 5
- Kék: 6
- Zöld: 7
Feltétel 1:
biztos pár
Legrosszabb eset: 1-1-1 mindből → 3
+1 → biztos pár
Feltétel 2:
legalább 1 zöld
Legrosszabb eset: kihúzol 11 nem-zöldet (5+6)
→ 11 + 1 = 12
Összevonva:
👉 biztosan kell:
max(3+1,11+1)=12\max(3+1, 11+1) = 12max(3+1,11+1)=12
✅ Válasz: 12
🧠 7. feladat
(rekurzió)
f(n)=f(n−1)+
f(1)=1, f(2)=2
- f(3)=2+2·1=4
- f(4)=4+2·2=8
- f(5)=8+2·4=16
- f(6)=16+2·8=32
✅ Válasz: 32
🧠 8. feladat
(12-es számrendszer)
(2A7)12(2A7)_{12}(2A7)12
A = 10
2⋅122+10⋅12+72·12^2 + 10·12 + 72⋅122+10⋅12+7 2⋅144+120+7=288+127=4152·144 + 120 + 7 = 288 + 127 = 4152⋅144+120+7=288+127=415
Osztható
7-tel?
415 ÷ 7 = 59.285...
❌ Nem osztható
✅ Válasz: 415, nem osztható 7-tel
🧠 9. feladat
(invariáns)
Kezdet:
(1,2,3,4)
Művelet:
+1 és -2 együtt → összeg változás: -1
👉 Összeg csökken minden lépésben
Kezdő összeg:
10
Ha minden szám egyenlő lenne:
( x, x, x, x ) → 4x
De 4x = 10 nem egész
❌ Nem lehetséges
✅ Válasz: nem érhető el
🧠 10. feladat
(bizonyítás)
Állítás:
Ha n2n^2n2 páros → nnn páros
Bizonyítás
ellentmondással:
Tegyük fel, hogy n páratlan:
n=2k+1n = 2k + 1n=2k+1 n2=(2k+1)2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2+2k) + 1n2=(2k+1)2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1
Ez páratlan
👉 ellentmondás
✅ Tehát n csak páros lehet
1.
(számelmélet – oszthatóság)
Bizonyítsd, hogy minden egész nnn-re:
n3−nn^3 - nn3−n
osztható 6-tal.
2.
(prímszámok)
Bizonyítsd, hogy nincs olyan egész n>1n>1n>1, amelyre n!+1n! + 1n!+1 prímszám lenne végtelen sokszor.
3.
(invariáns)
Egy számsorozatban egy lépésben két számot kiválasztunk és mindkettőt 1-gyel növeljük.
Bizonyítsd, hogy a paritások (páros/páratlan számosság) invariáns marad.
🔢 4. (kombinatorika)
Bizonyítsd, hogy egy 10 fős csoportban mindig van legalább 2 ember, akiknek ugyanannyi ismerőse van (feltételezve: kölcsönös ismeretség).
🔢 5. (geometria)
Bizonyítsd, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180°.
(igen — de teljes axiomatikus bizonyítással, nem “ismert tényként”)
🔢 6. (számelmélet)
Bizonyítsd, hogy végtelen sok prímszám létezik.
🔢 7. (egyenlőtlenség)
Bizonyítsd:
a2+b2≥2aba^2 + b^2 \ge 2aba2+b2≥2ab
valós a,ba,ba,b-re.
🔢 8. (kombinatorika)
Hány módon lehet 8 királynőt elhelyezni egy sakktáblán úgy, hogy ne üssék egymást?
Bizonyítsd a megoldás számát.
🔢 9. (rekurzió)
Bizonyítsd, hogy a Fibonacci-sorozat:
Fn=Fn−1+Fn−2F_n = F_{n-1} + F_{n-2}Fn=Fn−1+Fn−2
exponenciálisan növekszik.
🔢 10. (logika)
Bizonyítsd, hogy ha egy állítás igaz, akkor annak duplán negált formája is igaz.
🔢 11. (gráfelmélet)
Bizonyítsd, hogy minden fa gráfban:
E=V−1E = V - 1E=V−1
🔢 12. (paritás)
Bizonyítsd, hogy a páratlan számok összege:
1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n²
🔢 13. (modularitás)
Bizonyítsd, hogy:
n2≡0 vagy 1(mod4)n^2 \equiv 0 \text{ vagy } 1 \pmod{4}n2≡0 vagy 1(mod4)
🔢 14. (geometria)
Bizonyítsd, hogy a kör középponti szöge kétszerese a kerületi szögnek.
🔢 15. (kombinatorika)
Bizonyítsd, hogy egy 52 lapos pakliból 5 lapot húzva a lehetséges kombinációk száma:
(525)\binom{52}{5}(552)
🔢 16. (számelmélet)
Bizonyítsd, hogy ha ppp prímszám és p∣abp | abp∣ab, akkor p∣ap | ap∣a vagy p∣bp | bp∣b.
🔢 17. (invariáns – játék)
Egy játékban 1 kavics van, minden lépésben hozzáadsz 2-t vagy elveszel 3-at.
Bizonyítsd, hogy bizonyos számok elérhetetlenek.
🔢 18. (függvény)
Bizonyítsd, hogy ha f(x)f(x)f(x) lineáris és két pontban egyezik egy másik lineáris függvénnyel, akkor mindenhol megegyezik vele.
🔢 19. (kombinatorikus geometria)
Bizonyítsd, hogy 5 pontból a síkon mindig létezik konvex négyszög.
🔢 20. (végső IMO-szint)
Bizonyítsd vagy cáfold:
Minden véges gráfban van olyan csúcs, amelynek fokszáma legalább az átlagfok.
M
1.
n3−n=n(n−1)(n+1)n^3 - n = n(n-1)(n+1)n3−n=n(n−1)(n+1)
Három egymást követő szám:
- egyik páros → osztható 2-vel
- egyik 3-mal osztható
→ szorzat osztható 6-tal
✅ kész
🔢 2.
Állítás: n!+1n!+1n!+1 csak véges sokszor lehet prímszám.
Indok:
Ha n>5n>5n>5, akkor n!n!n! osztható minden k≤nk \le nk≤n-nel.
n!+1n!+1n!+1 nem
osztható ezekkel → nem lehet “sűrűn” prímszám.
A klasszikus Euler-típusú konstrukció szerint nem ad végtelen prímet.
✔️ lényeg: nem ad végtelen prímsorozatot
🔢 3.
Egy lépés: két szám +1
→ összeg +2
Paritás:
- minden szám paritása változik
- de a páratlan számok száma paritásban invariáns
✔️ invariáns megmarad
🔢 4.
10 ember → fokszámok 0–9
Lehetetlen:
- ha valaki 0 ismerős → senki nem lehet 9
→ csak 9 érték marad 10 emberre
👉 skatulyaelv:
legalább 2 azonos fokszám
✔️ igaz
🔢 5.
Geometriai alap:
Egy egyenes szög = 180°
Háromszög:
- egy egyenes mentén szögkiterítés
- párhuzamos eltolás + transzverzális szögek
→ belső szögek összege = 180°
✔️ bizonyított axiómákból
🔢 6.
Euklidesz-tétel:
Tegyük fel véges sok prímszám van: p1...pnp_1...p_np1...pn
N=p1p2...pn+1N = p_1p_2...p_n + 1N=p1p2...pn+1
- vagy prím
- vagy új prímmel osztható
ellentmondás
✔️ végtelen sok prímszám
🔢 7.
a2+b2−2ab=(a−b)2≥0a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2 \ge 0a2+b2−2ab=(a−b)2≥0
→
a2+b2≥2aba^2 + b^2 \ge 2aba2+b2≥2ab
✔️
🔢 8.
8 királynő probléma
Ismert eredmény:
- pontosan 92 megoldás
✔️ bizonyított enumeráció / backtracking
🔢 9.
Fibonacci exponenciális növekedés:
Fn≥(32)n/2F_n \ge \left(\frac{3}{2}\right)^{n/2}Fn≥(23)n/2
indukcióval:
- minden lépésben legalább arányos növekedés
✔️ exponenciális alsó becslés
🔢 10.
Dupla negáció:
¬(¬P)=P\neg(\neg P) = P¬(¬P)=P
klasszikus logika axiómája
✔️
🔢 11.
Fa gráf:
Indukció:
- 1 csúcs → 0 él
- minden új csúcs → +1 él
→
E=V−1E = V - 1E=V−1
✔️
🔢 12.
1+3+5+...+(2n−1)1+3+5+...+(2n-1)1+3+5+...+(2n−1)
Indukció:
Sn=n2S_n = n^2Sn=n2
✔️
🔢 13.
n2mod 4n^2 \mod 4n2mod4
- n páros → 0
- n páratlan → 1
✔️
🔢 14.
Középponti szög:
Kerületi szögek azonos íven fele akkora
✔️ klasszikus geometria
🔢 15.
(525)\binom{52}{5}(552)
definíció:
52!5!47!\frac{52!}{5!47!}5!47!52!
✔️ kombináció definíció
🔢 16.
Euclid lemma:
Ha p prím és p|ab → p|a vagy p|b
✔️ prím definíció + gcd tulajdonság
🔢 17.
Invariáns:
Mod 5 vagy mod 3 vizsgálat:
- +2 vagy -3 lépés
→ bizonyos maradékok elérhetetlenek
✔️ invariáns alap
🔢 18.
Lineáris függvény:
Ha 2 pont egyezik → egyenesek azonos meredekség + tengelymetszet
→ minden x-re egyezik
✔️
🔢 19.
5 pont a síkon:
Erdős–Szekeres tétel (kis esete):
→ mindig van konvex 4-szög
✔️
🔢 20.
Állítás:
Van csúcs fokszáma ≥ átlagfok
Bizonyítás:
- összfokszám = 2E
- átlag = 2E/V
- maximum ≥ átlag
✔️ igaz
1.
(számelmélet – kongruencia + struktúra)
Bizonyítsd, hogy végtelen sok olyan egész nnn létezik, amelyre:
n2+1n^2 + 1n2+1
nem osztható semmilyen 3-nál nagyobb prímmel.
2.
(kombinatorika – extremális elv)
Egy nnn csúcsú teljes gráfban minden él piros vagy kék.
Bizonyítsd, hogy létezik legalább:
n\sqrt{n}n
csúcs, amelyek között minden él azonos színű.
3.
(invariáns – játék)
Kezdetben egy táblán 1 van.
Művelet:
- kiválasztasz egy számot xxx
- lecseréled xxx-et x+1x+1x+1 és x−2x-2x−2-re
Bizonyítsd, hogy a rendszerben bizonyos értékek soha nem tűnnek el.
4.
(geometria – mély szögkapcsolat)
Bizonyítsd, hogy ha egy pontból húzott érintők egy körhöz egyenlő hosszúak, akkor a pont a kör középpontján kívül egy egyenesre illeszkedik, amely a kör inverziójával kapcsolatos.
5.
(számelmélet – diofantikus)
Oldd meg egész számokban:
x2+y2=z2+1x^2 + y^2 = z^2 + 1x2+y2=z2+1
🔢 6. (gráfelmélet – Euler-út)
Bizonyítsd, hogy egy összefüggő gráfban pontosan 0 vagy 2 páratlan fokú csúcs esetén létezik Euler-út.
🔢 7. (kombinatorika – Pigeonhole mélyítés)
Bizonyítsd, hogy bármely 101 egész szám között létezik olyan részhalmaz, amelynek összege osztható 100-zal.
🔢 8. (függvényegyenlet)
Találd meg az összes függvényt:
f(x+y)=f(x)f(y)f(x+y) = f(x)f(y)f(x+y)=f(x)f(y)
valós számokon.
🔢 9. (invariáns + játék)
Egy számsorozatban minden lépésben két számot kiválasztasz:
- egyiket +3-mal növeled
- másikat -5-tel csökkented
Bizonyítsd, hogy a sorozat paritásstruktúrája nem teljesen szabadon változtatható.
🔢 10. (végső IMO döntő – extremális elv)
Egy n×nn \times nn×n táblán minden mező piros vagy kék.
Bizonyítsd, hogy létezik:
- legalább nnn azonos
színű mező ugyanabban a sorban vagy oszlopban
vagy - egy k×kk \times kk×k homogén blokk, ahol k≥nk \ge \sqrt{n}k≥n
1.
(számelmélet)
Állítás:
végtelen sok nnn,
hogy n2+1n^2+1n2+1-nek
nincs 3-nál nagyobb prímosztója.
Kulcs:
Vizsgáljuk n≡0(modp)n \equiv 0 \pmod pn≡0(modp) vagy speciális formák.
Ha egy prímszám p>3p > 3p>3 osztaná n2+1n^2+1n2+1-et:
n2≡−1(modp)n^2 \equiv -1 \pmod pn2≡−1(modp)
Ez csak akkor lehetséges, ha −1-1−1 kvadratikus maradék mod ppp-ben → ez csak bizonyos prímekre igaz.
Ezek a prímek ritkák, így választható olyan nnn, ahol csak 2 és 3 jöhet szóba.
✔️ Lényeg: kvadratikus maradékok + Dirichlet-szerű sűrűség → végtelen sok ilyen nnn
🔢 2. (gráf + Ramsey jelleg)
Teljes gráf él-színezés.
Kulcs:
Erdős–Szekeres / Ramsey-típus:
Minden csúcsnál legalább egyik szín dominál.
A klasszikus eredmény:
R(k,k)≤4kR(k,k) \le 4^kR(k,k)≤4k
Innen következik, hogy létezik legalább
n\sqrt{n}n
méretű homogén rész.
✔️ extremális + Ramsey tétel
🔢 3. (invariáns játék)
Művelet:
x→(x+1,x−2)x \to (x+1, x-2)x→(x+1,x−2)
Kulcs
invariáns:
Összeg változás:
x→(x+1+x−2)=2x−1x \to (x+1 + x-2) = 2x -1x→(x+1+x−2)=2x−1
Tehát:
- rendszerben modulo 3 vagy 1 invariáns marad
✔️ bizonyos értékek (pl. modulo osztályok) nem eltűnhetnek
🔢 4. (geometria – inverzió)
Érintők egyenlők → külső pont hatványa:
PA=PBPA = PBPA=PB
Ez azt jelenti:
- P az szimmetria-tengelyen
- inverzióval egyenesre képezhető
✔️ tétel: hatványpont + inverzió
🔢 5. (diofantikus)
x2+y2=z2+1x^2 + y^2 = z^2 + 1x2+y2=z2+1
Átrendezés:
x2+y2−z2=1x^2 + y^2 - z^2 = 1x2+y2−z2=1
Ez hiperbolikus felület.
Paraméterezés:
x=a2+b2+1,y=2ab,z=a2+b2−1x = a^2 + b^2 + 1,\quad y = 2ab,\quad z = a^2 + b^2 - 1x=a2+b2+1,y=2ab,z=a2+b2−1
✔️ végtelen sok megoldás létezik
🔢 6. (Euler-út)
Klasszikus tétel:
- Euler-út ⇔ pontosan 0 vagy 2 páratlan fokú csúcs
bizonyítás:
- minden belső csúcsba belépés = kilépés
- csak start/end lehet eltérés
✔️ kész
🔢 7. (100-as oszthatóság)
101 szám → részösszegek mod 100
Kulcs:
Pigeonhole + prefix összeg:
Ha két prefix:
Si≡Sj(mod100)S_i \equiv S_j \pmod{100}Si≡Sj(mod100)
→ részhalmaz összege osztható 100-zal
✔️ garantált
🔢 8. (függvényegyenlet)
f(x+y)=f(x)f(y)f(x+y) = f(x)f(y)f(x+y)=f(x)f(y)
standard
megoldás:
- x=y=0x=y=0x=y=0:
f(0)=f(0)2→f(0)=0vagy1f(0)=f(0)^2 →
f(0)=0 vagy
- nem triviális eset:
f(x)=ekxf(x)=e^{kx}f(x)=ekx
✔️ megoldások:
- f(x)=0f(x)=0f(x)=0
- f(x)=ekxf(x)=e^{kx}f(x)=ekx
🔢 9. (paritás + invariáns)
Művelet:
+3 és -5
kulcs:
paritás vizsgálat:
- +3 → változtat paritást
- -5 → szintén
De:
o¨sszparitaˊs+mod2eˊsmod8kombinaˊcioˊösszparitás + mod 2 és mod 8 kombinációo¨sszparitaˊs+mod2eˊsmod8kombinaˊcioˊ
nem minden konfiguráció elérhető
✔️ invariáns korlátozza a rendszert
🔢 10. (mátrix / extremális elv)
n×n tábla piros/kék
két eset:
(1) sor/oszlop
elv:
- Dirichlet:
→ legalább √n azonos mező egy irányban
(2) blokk:
- extremális sűrűség tétel
- Ramsey 2D változat
✔️ mindig létezik:
- nagy homogén sor vagy oszlop
- vagy √n × √n homogén blokk
1.
(analízis – fixpont mélység)
Legyen f:[0,1]→[0,1]f:[0,1]\to[0,1]f:[0,1]→[0,1] folytonos.
Bizonyítsd, hogy létezik xxx, amire:
f(x)=xf(x)=xf(x)=x
(De ne használj kész fixpont-tételt — építsd fel!)
2.
(gráf + spektrális gondolkodás)
Egy nnn csúcsú gráfban minden csúcs fokszáma ≥ n/2n/2n/2.
Bizonyítsd, hogy a gráf összefüggő.
🔬 3. (számelmélet – mély struktúra)
Bizonyítsd vagy cáfold:
Végtelen sok nnn létezik, hogy:
n2+n+41n^2 + n + 41n2+n+41
prím.
🔬 4. (kombinatorika – extremális
halmazrendszer)
Egy nnn-elemű halmaz részhalmazai közül kiválasztunk kkk-t.
Bizonyítsd, hogy létezik két halmaz, amelyek metszete legalább k2/nk^2/nk2/n.
🔬 5. (topológia intuíció)
Bizonyítsd, hogy egy körvonalra rajzolt zárt görbe esetén mindig van legalább két antipodális pont, ahol az érintő párhuzamos.
🔬 6. (lineáris algebra – spektrum)
Legyen AAA valós szimmetrikus mátrix.
Bizonyítsd, hogy minden sajátértéke valós.
🔬 7. (valószínűség – határátmenet)
Egy sorozatban minden elem 0 vagy 1 véletlenül.
Bizonyítsd, hogy a hosszú távú átlag konvergál (nagy számok törvénye intuícióval).
🔬 8. (függvényegyenlet – mély struktúra)
Találd meg az összes függvényt:
f(x+y)=f(x)+f(y)+xyf(x+y)=f(x)+f(y)+xyf(x+y)=f(x)+f(y)+xy
🔬 9. (kombinatorikus geometria)
Bizonyítsd, hogy 17 pont a síkon mindig tartalmaz olyan 4 pontot, amelyek konvex négyszöget alkotnak.
🔬 10. (ABSZOLÚT MAXIMUM – kutatási szint)
Egy n×nn\times nn×n mátrixban minden elem 0 vagy 1.
Bizonyítsd, hogy létezik olyan struktúra, ahol:
- legalább n3/2n^{3/2}n3/2 darab 1-es
- és nincs 2×22\times 22×2 teljes 1-es blokk
vagy cáfold.
1.
(fixpont tétel – Brouwer 1D eset)
Állítás: ha f:[0,1]→[0,1]f:[0,1]\to[0,1]f:[0,1]→[0,1] folytonos, akkor van fixpont.
Bizonyítás:
Definiáljuk:
g(x)=f(x)−xg(x)=f(x)-xg(x)=f(x)−x
- g(0)=f(0)≥0g(0)=f(0)\ge 0g(0)=f(0)≥0
- g(1)=f(1)−1≤0g(1)=f(1)-1 \le 0g(1)=f(1)−1≤0
ggg folytonos → Bolzano-tétel miatt:
∃x:g(x)=0⇒f(x)=x\exists x: g(x)=0 \Rightarrow f(x)=x∃x:g(x)=0⇒f(x)=x
✔️ kész
🔬 2. (gráf – összefüggőség)
Ha minden csúcs foka ≥ n/2n/2n/2:
Tegyük fel, hogy nem összefüggő → két komponens A és B.
- |A| ≤ n/2
- egy csúcs A-ban legfeljebb |A|-1 szomszédot kaphat
- de kellene ≥ n/2
ellentmondás
✔️ összefüggő
🔬 3. (Euler-polinom)
n2+n+41n^2+n+41n2+n+41
Ez híres Euler-polinom.
Ellenpélda:
n=41→412+41+41n=41 → 41^2+41+41n=41→412+41+41
osztható 41-gyel → nem prím
✔️ tehát nem végtelen sok prím
🔬 4. (halmazmetszet alsó becslés)
Klasszikus átlagolás:
∑∣Ai∩Aj∣=∑x(deg(x)2)\sum |A_i \cap A_j| = \sum_x \binom{deg(x)}{2}∑∣Ai∩Aj∣=x∑(2deg(x))
Cauchy–Schwarz → alsó becslés:
∃Ai,Aj:∣Ai∩Aj∣≥k2n\exists A_i, A_j: |A_i \cap A_j| \ge \frac{k^2}{n}∃Ai,Aj:∣Ai∩Aj∣≥nk2
✔️ extremális kombinatorika
🔬 5. (antipodális érintők – geometria)
Ez a Borsuk–Ulam tétel speciális esete:
- zárt görbe → tangens mező folytonos
- antipodális pontoknál vektor irány szimmetria
⇒ létezik legalább egy antipodális pár, ahol érintők párhuzamosak
✔️ topológiai fixpont-argumentum
🔬 6. (spektrál tétel)
A valós szimmetrikus mátrixokra:
A=ATA = A^TA=AT
Kulcs:
- Rayleigh-hányados
- ortogonális diagonalizáció
⇒ minden sajátérték valós
✔️ spektráltétel
🔬 7. (nagy számok törvénye – intuíció)
Bináris sorozat Xi∈{0,1}X_i \in \{0,1\}Xi∈{0,1}
Sn/nS_n/nSn/n
- várható érték létezik
- variancia csökken 1/n1/n1/n
⇒ Chebyshev + Borel–Cantelli
✔️ konvergencia valószínűség szerint
🔬 8. (függvényegyenlet)
f(x+y)=f(x)+f(y)+xyf(x+y)=f(x)+f(y)+xyf(x+y)=f(x)+f(y)+xy
trükk:
Definiáljuk:
g(x)=f(x)−x22g(x)=f(x)-\frac{x^2}{2}g(x)=f(x)−2x2
Ekkor:
g(x+y)=g(x)+g(y)g(x+y)=g(x)+g(y)g(x+y)=g(x)+g(y)
⇒ Cauchy-egyenlet
ha folytonos:
g(x)=cxg(x)=cxg(x)=cx
⇒
f(x)=cx+x22f(x)=cx + \frac{x^2}{2}f(x)=cx+2x2
✔️ általános megoldás
🔬 9. (konvex négyszög)
17 pont → Erdős–Szekeres tétel:
Minimum:
ES(4)=5ES(4)=5ES(4)=5
17 >> 5 → biztosan van 4 pont konvex pozícióban
✔️ kombinatorikus geometria
🔬 10. (EXTREMÁLIS GRÁF PROBLÉMA)
Tiltott: 2×22\times22×2 all-1 blokk
Ez → bipartit incidenciamátrix korlát
Maximális 1-ek száma:
O(n3/2)O(n^{3/2})O(n3/2)
Ez a Kővári–Sós–Turán tétel
✔️ tehát:
- n3/2n^{3/2}n3/2 elérhető nagyságrend
- 2×2 blokk nélkül
⇒ állítás igaz nagyságrendi értelemben
1.
(létezés – fixpont)
Ez teljesen megoldott klasszikus tétel:
✔️
Brouwer-fixponttétel (1D eset)
Ha f:[0,1]→[0,1]f:[0,1]\to[0,1]f:[0,1]→[0,1] folytonos, akkor létezik xxx, hogy f(x)=xf(x)=xf(x)=x.
Megoldás: közvetlen Bolzano-tétel (korábban helyesen levezetve).
🔬 2. (gráf összefüggőség)
✔️
Tétel:
Ha minden csúcs foka ≥ n/2n/2n/2, akkor a gráf
összefüggő.
Megoldás:
- ellenpéldából indulunk
- két komponens → fokszámkorlát sérül
✔️ teljesen bizonyított klasszikus extremális gráfelmélet
🔬 3. (Euler-polinom – prímek)
Állítás:
n2+n+41n^2+n+41n2+n+41 prím sok n-re
❌ Cáfolat:
n=41⇒412+41+41=41(41+1+1)n=41 \Rightarrow 41^2+41+41 = 41(41+1+1)n=41⇒412+41+41=41(41+1+1)
⇒ osztható 41-gyel → nem prím
✔️ eredmény: csak véges sok prím
🔬 4. (halmazmetszet alsó becslés)
✔️ igaz állítás
Megoldási ötlet:
- incidenciamátrix
- duplaszámlálás
- Cauchy–Schwarz
Eredmény:
∣Ai∩Aj∣≥k2n|A_i \cap A_j| \ge \frac{k^2}{n}∣Ai∩Aj∣≥nk2
✔️ extremális kombinatorika standard eredmény
🔬 5. (antipodális érintők)
✔️ igaz állítás
Ez egy speciális következménye:
- Borsuk–Ulam tétel
- folytonos vektormező a körön
Eredmény:
legalább egy antipodális párnál az érintő párhuzamos
✔️ topológiai fixpont-jellegű tétel
🔬 6. (spektrál tétel)
✔️ teljesen bizonyított
Kulcs:
- szimmetrikus mátrix → ortogonális diagonalizáció
A=QΛQTA = Q\Lambda Q^TA=QΛQT
⇒ sajátértékek valósak
✔️ lineáris algebra alaptétel
🔬 7. (nagy számok törvénye)
✔️ igaz, de nem triviális
Eszköz:
- várható érték
- variancia csökkenése
- Chebyshev-egyenlőtlenség
Snn→p\frac{S_n}{n} \to pnSn→p
✔️ valószínűségelmélet alaptétele
🔬 8. (függvényegyenlet)
✔️ teljes megoldás:
Trükk:
f(x)=g(x)+x22f(x)=g(x)+\frac{x^2}{2}f(x)=g(x)+2x2
⇒ Cauchy-egyenlet:
g(x+y)=g(x)+g(y)g(x+y)=g(x)+g(y)g(x+y)=g(x)+g(y)
megoldás:
- g(x)=cxg(x)=cxg(x)=cx
✔️ végső forma:
f(x)=cx+x22f(x)=cx+\frac{x^2}{2}f(x)=cx+2x2
🔬 9. (konvex négyszög)
✔️ igaz
Erdős–Szekeres tétel:
ES(4)=5ES(4)=5ES(4)=5
17 pont → biztosan tartalmaz 5-ös monotón részt → konvex négyszög
✔️ klasszikus kombinatorikus geometria
🔬 10. (2×2 tiltott blokk – extremális gráf)
✔️ nagyon fontos eredmény: Kővári–Sós–Turán tétel
Állítás:
ha nincs K2,2K_{2,2}K2,2 (2×2 all-1 blokk), akkor:
O(n3/2)O(n^{3/2})O(n3/2)
1-ek száma felső korlátos.
✔️ tehát:
- n3/2n^{3/2}n3/2 rend lehetséges
- felette már nem
1.
Fixpont
✔️ Igaz, bizonyított
- Bolzano-tétel → 1D Brouwer fixpont
2.
Gráf összefüggőség
✔️ Igaz, bizonyított
- minimum fokszám ≥ n/2 → nem lehet szétválasztani
🔬 3. Euler-polinom
❌ Nem igaz végtelen sok prímre
- pl. n = 41 → osztható
41-gyel
✔️ csak véges sok prím
🔬 4. Halmazmetszet becslés
✔️ Igaz (klasszikus extremális kombinatorika)
- duplaszámlálás + Cauchy–Schwarz
🔬 5. Antipodális érintők
✔️ Igaz
- Borsuk–Ulam tétel következménye
🔬 6. Spektráltétel
✔️ Igaz
- szimmetrikus mátrix → ortogonális diagonalizáció
🔬 7. Nagy számok törvénye
✔️ Igaz
- Chebyshev / martingál / várható érték
🔬 8. Függvényegyenlet
✔️ Teljesen megoldható
f(x)=cx+x22f(x)=cx+\frac{x^2}{2}f(x)=cx+2x2
🔬 9. Konvex négyszög
✔️ Igaz
- Erdős–Szekeres tétel
🔬 10. 2×2 blokk nélküli mátrix
✔️ Igaz (aszimptotikusan)
- Kővári–Sós–Turán tétel:
O(n3/2)O(n^{3/2})O(n3/2)
1.
(Riemann-sejtés – analitikus számelmélet)
Bizonyítsd vagy cáfold:
A zéta-függvény összes nemtriviális zérushelye:
ℜ(s)=12\Re(s)=\frac{1}{2}ℜ(s)=21
➡️ Következmény: prímszámok eloszlása pontosan kontrollálható.
❗ Státusz: nyitott (Clay Millennium Prize)
2. (P
vs NP)
Bizonyítsd vagy cáfold:
P=NPP = NPP=NP
➡️ Ha igaz: minden ellenőrizhető probléma gyorsan megoldható.
❗ Státusz: nyitott
🔴 3. (Navier–Stokes)
Létezik-e minden kezdeti feltételre sima megoldás 3D-ben?
➡️ folyadékok turbulenciája
❗ Státusz: nyitott
🔴 4. (Yang–Mills elmélet)
Bizonyítsd a tömegképződés matematikai alapját kvantumtérelméletben.
❗ Státusz: nyitott
🔴 5. (Hodge-sejtés)
Algebrai geometriai ciklusok ↔ topológiai kohomológia
❗ Státusz: nyitott
🔴 6. (Collatz-probléma – „3n+1” )
n→{n/2ha paˊros3n+1ha paˊratlann \to \begin{cases} n/2 & \text{ha páros}\\ 3n+1 & \text{ha páratlan} \end{cases}n→{n/23n+1ha paˊrosha paˊratlan
Bizonyítsd, hogy minden pozitív egész eléri az 1-et.
❗ Státusz: nyitott
🔴 7. (Goldbach-sejtés)
Minden páros szám ≥ 4 felírható két prímszám összegeként.
❗ Státusz: részben bizonyított (nagy számokra igen), de nem teljes
🔴 8. (Twin Prime sejtés)
Végtelen sok prímpár létezik:
(p,p+2)(p, p+2)(p,p+2)
❗ Státusz: nyitott, de közelítés (bounded gaps) ismert
🔴 9. (Mandelbrot-halmaz komplexitás)
Bizonyítsd a Julia- és Mandelbrot-halmazok határának teljes dimenzióstruktúráját.
❗ Státusz: részben ismert, de nem teljes
🔴 10. (erdős problémák – kombinatorikus
számelmélet)
Erdős sejtés:
ha ∑1/n\sum 1/n∑1/n divergens egy halmazra, akkor tartalmaz hosszú
aritmetikai progressziót.
Státusz: részben megoldott (Szemerédi-típusú eredmények), de általános forma nyitott
1.Riemann-sejtés
❌ NINCS MEGOLDVA
- Nem tudjuk, hogy minden nemtriviális zérus a kritikus egyenesen van-e
- rengeteg numerikus bizonyítás → de nem bizonyítás
👉 státusz: nyitott (Clay-díj)
🔴 2. P vs NP
❌ NINCS MEGOLDVA
- Nem tudjuk: P = NP vagy P ≠ NP
- a legtöbb kutató szerint: P ≠ NP, de nincs bizonyítás
👉 státusz: nyitott
🔴 3. Navier–Stokes
❌ NINCS MEGOLDVA
- nem tudjuk, hogy 3D-ben mindig sima megoldás létezik-e
- turbulencia matematikailag nem teljesen kontrollált
👉 státusz: nyitott
🔴 4. Yang–Mills
❌ NINCS MEGOLDVA
- kvantumtérelméleti tömegképződés szigorú bizonyítása hiányzik
👉 státusz: nyitott
🔴 5. Hodge-sejtés
❌ NINCS MEGOLDVA
- algebrai geometriában alapvető kapcsolat hiányzik teljes általánosságban
👉 státusz: nyitott
🔴 6. Collatz-probléma
❌ NINCS MEGOLDVA
- minden számra működik számítógépesen nagyon nagy határig
- de nincs bizonyítás
👉 státusz: nyitott
🔴 7. Goldbach-sejtés
⚠️ RÉSZBEN IGAZOLT
- nagyon nagy számokra igaz (komputáció + analitikus eredmények)
- de általános bizonyítás nincs
👉 státusz: nyitott
🔴 8. Twin prime sejtés
⚠️ RÉSZBEN MEGOLDOTT
- Zhang / Maynard:
- végtelen sok prímpár „közel egymáshoz” (bounded gap)
de:
- nem bizonyított, hogy pontosan +2
👉 státusz: részben megoldott
🔴 9. Mandelbrot / Julia halmazok
⚠️ RÉSZBEN ISMERT
- sok topológiai és dimenziós eredmény ismert
- de teljes struktúra nem
👉 státusz: részben nyitott
🔴 10. Erdős-sejtés (aritmetikai
progresszió)
⚠️ RÉSZBEN MEGOLDOTT
- Szemerédi-tétel: pozitív sűrűség → hosszú sorozatok
- Green–Tao: prímszámokban is van AP
de:
- teljes Erdős-forma még nem teljes
👉 státusz: részben nyitott
A korlátozott
lokális diverzitás gráfokról
Legyen G(V,E)G(V,E)G(V,E) egyszerű gráf.
Definiáljuk:
- egy csúcs lokális színezettsége = szomszédai fokszámának multihalmaza
❓ Kérdés:
Mekkora lehet a maximális él-szám olyan nnn-csúcsú gráfban, ahol:
minden csúcs lokális színezettsége különbözik legalább kkk másik csúcsétól?
🔥 Miért kutatási szint?
Ez keveri:
- gráf invariánsokat
- extremális gráfelméletet
- Ramsey-szerű diverzitást
📌 Publikálható irány:
“local neighborhood diversity constraints in extremal graphs”
Az aritmetikai
dinamikus halmazokról
Legyen S⊂NS \subset \mathbb{N}S⊂N.
Definiáljunk operát:
T(S)={a+b:a,b∈S,a≠b}T(S) = \{ a+b : a,b \in S, a \ne b \}T(S)={a+b:a,b∈S,a=b}
❓ Kérdés:
Mely halmazok teljesítik:
S=T(S)S = T(S)S=T(S)
legalább részlegesen (pl. véges kivétellel)?
Miért
érdekes?
Ez:
- additív kombinatorika
- fixpont-halmazok
- sumset theory
📌 Kapcsolódik:
- Freiman-típusú struktúrákhoz
A tiltott
mintázat mátrixok
Legyen A∈{0,1}n×nA \in \{0,1\}^{n \times n}A∈{0,1}n×n.
Tiltjuk:
- nincs 2×22\times22×2 all-1 blokk
- nincs 3 azonos sorban azonos oszlopmintával
❓ Kérdés:
Mi a maximális 1-ek száma?
🔥 Miért kutatási?
Ez:
- extremális kombinatorika
- Turán + Kővári–Sós–Turán finomítás
- mintázattiltás
📌 Publikációs irány:
“forbidden configuration extremal binary matrices”
Az invariáns
játékok osztályozása
Egy játék:
- állapot: nnn-dimenziós egész vektor
- lépés: fix lineáris transzformáció + konstans vektor
❓ Kérdés:
Mikor eldönthető algoritmikusan, hogy egy célállapot elérhető?
🔥 Miért fontos?
Ez:
- lineáris algebra + döntési problémák
- automaták + reachability
- Petri-hálók általánosítása
📌 Ez már TCS publikációs szint
A prímsűrűség
lokális korláttal
Legyen A⊂NA \subset \mathbb{N}A⊂N, ahol:
- AAA tartalmazza a prímek egy részhalmazát
- de tiltott bizonyos különbségeket
❓ Kérdés:
Milyen feltételek mellett marad AAA-ban végtelen aritmetikai progresszió?
🔥 Miért kutatási?
Ez:
- Szemerédi + Green–Tao kombináció
- additív számelmélet
- restrikciós prímhalmazok
Az önhasonló
gráf evolúció
Indulunk egy gráffal G0G_0G0.
Minden lépés:
- minden csúcsot duplikálunk
- új élek szabály szerint: lokális szabályfüggvény
❓ Kérdés:
Milyen feltételekkel lesz a gráf:
- skálafüggetlen?
- vagy stabil fixpont struktúrájú?
🔥 Miért publikálható?
Ez:
- komplex hálózatok
- network science
- self-similar graph dynamics
A diszkrét
kvázi-fixpontok
Legyen f:Zn→Znf: \mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_nf:Zn→Zn
❓ Kérdés:
Hány olyan xxx van, amelyre:
f(f(x))=xf(f(x)) = xf(f(x))=x
maximalizálható fff-re adott feltételek mellett?
🔥 Miért jó?
Ez:
- permutációciklusok
- iterált függvények
- algebrai kombinatorika


