Ha nem látunk át egy komplex rendszert akkor azt káosznak nevezzük. A számítástechnika alapépítőkövei a 0 és az 1 és ezekből elő tudjuk állítani a legbonyolultabb struktúrákat is és így válik a káosz visszavezetve az alapokhoz érthető és áttekinthető rendszerré. Nézzük ezt kiszélesítve egy kicsit. A számítástechnika fejlődése lehetővé tette számítási felhők alkalmazását és ezáltal komplex rendszerek modellezését egy rövid t idő intervallumban. A komplex rendszerek működésének pontos meghatározása azért nem volt lehetséges mert túl sok ismeretlen tényező formálja, és elég egy tényező apró változása ahhoz, hogy t idő múlva egy nem reguláris eredmény szülessen, ezt nevezik a pillangóhatásnak. A bonyolult rendszereknek bonyolult lehet a viselkedésük is. A káoszelméletemmel igazolni fogom, hogy az egyszerű, néhány
állapotjelzővel leírható determinisztikus rendszerek is mutathatnak
összetett, megjósolhatatlan viselkedést, mert a statikusan leírható tényezőket is befolyásolják olyan tényezők amelyeket nem ismerünk és már kaotikus lett a legkisebb feltételrendszer is. A káosz a
viselkedés lokális instabilitásának és a globális keveredésnek az
együttese, ami nem rendetlenséget, csupán az összefüggések átláthatatlanságát vagy a tényezők egymásra gyakorolt hatását jelenti. A viselkedés lokálisan instabil, ha egymáshoz közeli
kezdőhelyzetből indítva a rendszert a kis különbségek is az idő tényező hatására gyorsan nőnek, ami globális keveredéshez vezet és az összes lehetséges állapothoz közel kerül a
rendszer, ha elég hosszú időt hagyunk neki. A determinisztikus
rendszerek mellett a nem determinisztikus rendszerek felé is elfordulhatunk ami már a
kvantumkáosz-elmélet irányába sodor bennünket és láthatjuk még az elméletünk is két irányba mutat ahogy belép egy újabb tényező, ami kísértetiesen hasonlítani kezd egy fraktálra egy permutációra és egy exponenciális matematikai képletre, ami tudjuk hogy az idő tényező előrehaladtával egy kaotikus állapot felé halad. A hópihe is fraktál, a fraktáloknak az a furcsa tulajdonsága, hogy nagyon egyszerű szabályokkal leírhatók, mégis nagyon bonyolult alakzatokat eredményeznek. Most következik az a látszólagos paradoxonom, hogy az ember elég buta ahhoz, hogy azt képzelje magáról hogy elég okos ahhoz, hogy megjósolja a jövőt. Ugyan szeretné tudni a jövőt, miközben nem ismeri a jövő formálásában résztvevő valamennyi tényezőt, minta egy vakembert kérnénk meg rá rajzolja le milyen a virágzó mező, miközben sohasem látta. Analógiára és ismétlésre építjük teóriánkat, miközben a káoszelmélet olyan nemlineáris dinamikus összetett rendszerek viselkedését írja le, ahol az őket meghatározó determinisztikus törvényszerűségek csak ritkán érvényesek és akkor sem olyan gyakorisággal ahogyan azt a diszkrét matematikával igazolhatnánk. Azt mondják valószínűségre építenek, nézzünk rá egy példát, annak valószínűsége hogy 6-szor dobok hatost szinte 0, és mégis képes vagyok hatost dobni egymás után hatszor, vagyis vannak ismétlések, de azok között nincsenek törvényszerűségek. Ezek ismeretében, azokat az embereket akik meg akarják jósolni a jövőheti nyerőszámokat minek nevezzem? Mi is írtunk programokat amik meghatározzák a folyamat végeredményét, de a mi programjaink egyszerű függvényekkel leírhatók és véges számú lépésekből állnak.
Az általunk vizsgált dinamikai rendszert folytonos differenciál egyenletekkel tudjuk leírni a kapott eredmény a fázistérben hibás lesz, mert bizonyos adott időközönként jegyezzük fel a rendszer fázistérbeli helyzetét illetve pillanatnyi állapotát. Számtalan leképezéselmélet létezik de mindegyik sántít az itt leírtak miatt. A kaotikus rendszer tehát gyakran szabálytalan mozgást eredményez, a kis kezdeti eltérések exponenciálisan nőnek az idő függvényében és a komplex rendszerekre jellemző bonyolult fázistérbeli geometria alakzatokkal írható le topológikus entrópiával, mint a fraktálelméletek. A periodikus pályák száma exponenciálisan nő a periódus hosszának növekedésével
a kaotikus disszipatív rendszerekben a mozgás hosszú idő után egy bonyolult geometriájú alakzaton, különös attraktoron zajlik, ezt a struktúrát a fraktáldimenzióval elég nehéz leírni. A konzervatív erőknek különleges szerepük van a fizikában, mert csak ilyen erők által végzett munka független az úttól, továbbá a mechanikai energia is csak konzervatív erők esetén állandó. A természetben azonban találkozunk olyan erőkkel is, amelyek nem konzervatívak, mint a keletkezett hő vagy a súrlódási erő, az időtől vagy a tömegpont sebességétől függő erő. Ezek a nem konzervatív tényezők tovább igazolják a káoszelméletemet. Persze a tévesen konzervatív rendszerként kezelt komplex rendszerek nem mutatnak fraktáltulajdonságot, a reguláris szigetek úgynevezett kövér fraktált alkotnak, ami téves következtetéseket eredményez, lásd a meteorológiát. A határérték számítás segítségével kitudjuk számolni a görbe vonalak által határolt területet, de még azt is csak némi hibaszázalékkal,és azt képzeljük magunkról megtudjuk határozni egy ciklon irányát, miközben több ezer általunk nem ismert pillangóhatás befolyásolja, mi ez ha nem az emberi butaság superlativusa. Differencia egyenletet használnak modellezésére és ha találnak egy ismétlést ami permutáció eredménye törvényszerűséget építenek fölé. Az absztrakt algebrában és a kombinatorikában egy a halmaz permutációján annak önmagára vett bijektív leképezését értjük, de az lehet egy végtelen halmaz is ami a mi modellezésünkben persze véges, ami egy téves konklúzióhoz vezet, mert az elemek egy meghatározott ponton vizsgált átrendezését látjuk, de ez korántsem a végeredmény. Viszont a kaotikus esetben abszolúte nem lehet megjósolni egy adott kiindulópontból, hogy mi lesz a következmény, látható, hogy a kiindulóállapotban egy aprónak tűnő momentum is az időtényező változásával egy merőben más eredményt hoz.
A természetes rendszerek többsége (mint pl. az időjárás) olyan, mint az állatpopuláció kaotikus r értékkel. Ebben az esetben pedig már egy nagyon kicsi eltérés is a kezdeti feltételekben elég ahhoz, hogy a közeli jövő teljesen megváltozzon. Az, hogy a pillangó meglebegteti-e a szárnyát vagy sem, apró, látszólag jelentéktelen eltérés. Ám a jövő módosul, és többé senki nem tudja megjósolni, hogy az eső esni fog-e vagy sem. A gyakorlatban nem tudunk minden apró részletet figyelembe venni, ám mivel az apró részletek is megjósolhatatlanná teszik a jövőt egy kaotikus rendszerben, lehetetlen hosszú távon jövőbe látni. Néhány napnál hosszabb előrejelzéseket soha nem adnak, vagy csak nagy vonalakban, mert nagy a szórás. Pedig az időjárást leíró fizikai képleteket nagyon jól ismerjük, és vannak elég gyors számítógépek ahhoz, hogy akármekkora távra előre kiszámolják a jövő időjárását a jelen helyzetből kiindulva, de a befolyásolótényezők is fraktálban vannak és ezért ott is gigantikus variációk és permutációk alakítják a végeredményt. A differenciális egyenletekkel akarjuk leírni a nem differenciális valóságot. Íme egy hipotézisem; a világ körökből áll. Bizonyítsa be valaki az ellenkezőjét, bizony beletörik a bicskája a nagy Nobeldíjjas tudósoknak, pedig én csak egy egyszerű ember vagyok aki felvetett egy elméletet. Lássuk az én érvelésemet; A gömb a legegyszerűbb 3D alakzat, amit a legkönnyebb leírni egy függvénnyel és most azt állítom minden körökből épül fel. Végtelen kicsi pontok, amik valójában gömbök. A fraktálelmélet értelmében végtelen bonyolult alakzatok állíthatók elő belőle, végtelen permutációk és változatok, az idő múlásával. A gömb végtelen körből épül fel, amivel tovább bontom az elméletemet. Ezért hiba lineáris egyenletekkel leírni nem lineáris kompex rendszerek működését.
A káosz szó használata megtévesztő lehet arra a jelenségre, amit a tudományos életben kaotikusnak nevezünk. A káosz mindennapi értelemben zűrzavart jelent, ami a tudományos értelmezésben félreértésre adhat okot. Ekkor a káosz jelenség merőben eltér a hétköznapi értelemben vett jelentésétől. Sőt, ha megnézzük a szó eredeti görög jelentését is, ami üresség vagy semmi, akkor fokozottan igaz ez. A tudományos közfelfogásban tárgyalt káosz jelentése merőben más, és nehezen is definiálható.
Általában úgy gondoljuk, hogy valamilyen matematikai, vagy fizikai jelenségről van szó. De a káosz sokkal több ennél, átszövi az életünk minden területét, ezáltal, a matematika, a fizika mellett, a közgazdaságtan, biológia, ökológia, szociológia tudományok szótárában is megtaláljuk. És bár a káosz természettudományos következményei alapvetően újak és fontosak, nem sajátíthatja ki emiatt egyetlen tudomány sem. A káosz minden természettudomány, sőt minden olyan tudomány sajátja, melyben a matematikai leírás hasznosnak bizonyul.
Ebből is következik, hogy a káosz fogalmára pontos definíció nem létezik, de a fogalom tisztázásának érdekében fontos annak értelmezése. A legegyszerűbb, és a matematikusok által javasolt meghatározás így hangzik: A káosz a determinisztikus rendszerekben előforduló sztochasztikus viselkedés. Mint említettük a káosz fogalmára nem találunk egzakt definíciót. Egyfajta periodikusság nélküli rend. Látszólag véletlenszerűen ismétlődő viselkedés egy egyszerű determinisztikus (óraműszerűen viselkedő) rendszeren belül. A determinisztikus nemlineáris dinamikus rendszereken belüli instabil, aperiodikus viselkedés kvalitatív tanulmányozása. Az egyszerű, beépített véletlenszerű vonások nélküli modellek azon képessége, hogy nagyon szabálytalan viselkedést tanúsítsanak, vagyis jelenség amelyben szabályszerűséget keresünk, és megpróbáljuk leírni lineáris egyenletekkel. A fraktál egy olyan topológia, amely egyszerű szabályokkal leírható, ám minden szinten ismétli önmagát így végtelenségig növelhető. A fázisdiagram egy rendszer összes tulajdonságát együtt tartalmazó ábra, amely a rendszer lehetséges állapotait tükrözi.A pillangó-effektus kaotikus rendszerekben gyakori, hogy a kiindulási feltételek kismértékű megváltoztatása is nagy mértékű változásokat idéz elő egy rendszer állapotában x időn belül.A differencia egyenlet egy olyan képlet, amelynek segítségével egy rendszer jelenlegi állapotát ismerve a következő megkapható, vagyis aminek a segítségével sorozat alkotható. Pl.: xn+1 = r xn (1 - xn ) így a differenciál egyenlet képlete ami a rendszer pillanatnyi állapotát és annak változását írja le. A nemlineáris egyenletek olyan differenciálegyenlet, amelyben a függő változó végtelen sok értéket vehet fel a tényezők nagy száma miatt egy exponenciálisan változó hibás eredményt ad.
A káoszelmélet egy új, kialakulóban lévő tudomány, amelynek a fókuszában a nemlineáris rendszerek vannak. A káosz fogalom értelmezéséből is láthatjuk, hogy a káoszelmélet inerdiszciplináris tudomány. A káoszelmélet átlépi a tudományágak határait, s a rendszerek általános természetének tudománya lévén, közelebb hozza egymáshoz a korábban szigorúan elkülönült területek kutatóit. A káosz kutatása nagyon sok olyan kérdést vet fel, amely a tudomány szokásos kutatási módszereinek lehetőségeit meghaladja. Az elmélet jól csengő nevén túl számtalan új fogalommal gazdagította eddig is a képünket a világról. Az egész tehát több mint a részek összessége! A bonyolult rendszerek, a kaotikus jelenségek mint a felhők mozgása, a villámlás irányvonala, a vérerek mikroszkopikus összefonódása, a csillagok galaktikus tömörülése és a tőzsdei árfolyam-ingadozások a lottósorsolás, a cunamik, a földrengések, az aszteroidák mozgása mind felvetnek kérdéseket amikre választ nehéz adni. Kijelenthetem hogy a káosz ott kezdődik, ahol a klasszikus tudomány véget ér.Természetéből adódóan a káosz dinamikus jelenség, akkor fordul elő, amikor valami megváltozik. A változásnak ebben az értelemben két formáját határozhatjuk meg egyrészt a klasszikus fizika és dinamika által vizsgált változásokat, másrészt a kaotikus változásokat. Azokat a dolgokat, amelyek egy adott szituációban megváltozhatnak a káoszelméletben is változóknak nevezzük. Az egyszerűség és komplexitás, illetve a rendezettség és rendezetlenség közötti mélyen rejlő összefüggések feltárása révén összekapcsolja mindennapos tapasztalatainkat a természet törvényeivel. Olyan világegyetemet mutat be, ami egyszerre determinisztikus és a fizika alaptörvényeinek engedelmeskedik, ám ugyanakkor képes arra is, hogy rendezetlen, komplex és előrejelezhetetlen legyen. Megmutatja, hogy az előrejelezhetőség ritka jelenség, s csak azokon a határokon belül működik, amelyeket a tudomány kiszűrt összetett világunk sokféleségéből. Lehetőséget teremt arra, hogy leegyszerűsítsünk komplex jelenségeket. Egyesíti a képzeletgazdag matematikát a modern számítógépek lenyűgöző számító kapacitásával. Kétségbe vonja a tudomány hagyományos modellépítő eljárásait. Megmutatja, hogy a megértésnek és a jövőbeli események előrejelzésének minden összetettségi szinten önmagukból fakadó korlátai vannak.
A lélegzetelállító számítókapacitás, ami lehetővé teszi a kutatók számára, hogy másodpercek alatt akár több száz millió bonyolult számítást is elvégezzenek. A számítókapacitás növekedésével együtt megnőtt a tudományos érdeklődés az olyan rendhagyó jelenségek iránt, mint pl.:
az időjárás véletlenszerű változásai,
a járványok terjedése,
a sejtek anyagcseréje,
a rovarok és madarak számának ingadozása,
a civilizációk felemelkedése és bukása,
az impulzusok terjedése az idegek mentén stb.
A káoszelmélet akkor született meg, amikor az említett fejlemények a geometriai matematika egy új ágában egyesültek, amely túllépett az euklideszi geometria ismert alakzatain és eljutott a fraktál geometria nem euklideszi struktúráiig.
A kaotikus rendszer állapotaira jellemző, hogy mozgásegyenletekkel, nem lineáris differenciál egyenletekkel írható le mozgásegyenlet egyik állapotból egy másik állapotba viszi a rendszert a rendszer viselkedését nyomon követjük bizonyos állapotfejlődési görbék, trajektóriák segítségével a trajektóriák (idő utak, időösvények) viselkedéséből következtetni lehet arra, hogy a rendszer káoszmentes vagy kaotikus a viselkedése. Kaotikus viselkedés esetén a két trajektória a fázistérben gyorsan, exponenciálisan távolodik, divergál egymástól az idő múlásával. A kaotikus rendszerek erősen és gyengén kaotikus rendszerek lehetnek. Az erősen kaotikus rendszerekben a trajektóriák exponenciális görbe mentén távolodnak egymástól, a kis hibák felerősödnek az exponenciális hibaerősítő mentén. A gyengén kaotikus rendszerekben a trajektóriák parabolikus görbe mentén távolodnak egymástól. A káosz határát súrolják, de nem érik el. A gyengén kaotikus rendszerek nyílt rendszerek, amelyek kölcsönhatásban vannak a környezettel. Sohasem kerülnek egyensúlyi állapotba, hanem egyik metastabil állapotból jutnak a másikba. Ezek a rendszerek tulajdonképpen stabilak, mert fennmaradnak a változó körülmények mellett is, hiszen rugalmasan reagálnak a megváltozott feltételekre. Kaotikus viselkedés esetén csak rövid távra lehet egzakt előrejelzést készíteni. Hosszú távon a trajektóriák exponenciálisan távolodnak egymástól, s nehéz következtetni hol létükre. A távolodás sebessége 0-hoz konvergál. Hosszú távú előrejelzés csak a kezdeti feltételek végtelen pontosságú ismeretében lenne lehetséges. Nem-kaotikus viselkedés esetén a jelenben egymáshoz közeli két trajektória nem távolodik egymástól, illetve a távolodás kicsiny mértéke hosszabb távon is lehetőséget ad az egzakt előrejelzéshez. A kaotikus viselkedés oka a rendszer nemlineáris természete. Ez azt jelenti, hogy a rendszer valamely, input paraméterének megváltozására adott válasza nem arányos a szóban forgó változással. Nemlineáris természetű pl. az időjárás, a folyadékok turbulens áramlása. A nem-linearitással kapcsolatos problémák tehát a fizika, a kémia, sőt a biológia és a társadalomtudományok területén is megjelentek. Ezért e tudományok a nem-linearitást, mint a társadalom számos területén megjelenő, azonos jellemzőkkel leírható interdiszciplináris jelenséget kezdték vizsgálni. A nemlineáris rendszerek rendkívül érzékenyek a kezdőfeltételekre. A kezdőfeltételekre való érzékenység jól érzékelhető az ún. pillangóeffektussal. A pillangóeffektus kifejezéssel szimbolizált érzékenység úgy illusztrálható, hogy egy pillangó finom szárnycsapásai egy távolabbi régióban hatalmas szélviharokat, hurrikánokat idézhetnek elő. Azaz a mikroszkopikus méretű változások makroszkopikus méretűvé transzformálódnak. Ezt a jelenséget a kis okok (generálta) nagy hatások jelenségének is nevezik. Kaotikus viselkedés esetén a jövőre vonatkozóan különböző pályák jelennek meg, vagyis bekövetkezik a bifurkáció jelensége, ami kettéágazást jelent. Ha a nemlineáris rendszerek viselkedését leíró differencia- és differenciálegyenletekben az egyensúlyi pont instabillá válik, akkor alakul ki a bifurkáció. Úgy is fogalmazhatjuk, hogy nemlineáris egyenletek esetén előálló, minőségileg eltérő megoldások együttese. Bifurkáció esetén tehát a periodikus kettőződés jelensége áll fenn, amit további perióduskettőződések sorozata követhet. A rendszer két, egymástól lényegesen eltérő állapotú viselkedési formát vehet fel. A periódus-kettőződés a káoszhoz vezető egyik út, aminek során egy oszcilláló rendszer periódusa ismétlődően megduplázódik valamely paraméterének megváltoztatása folytán. A bifurkáció kialakulásakor egy dinamikus rendszer átalakulása megy végbe, általában stabilabb és egyszerűbb állapotából kevésbé stabil és komplexebb állapotába. Szemléletesen is ábrázolható, hogy egy adott szervezettségi szinten stabil rendszert a felerősödő fluktuációk kibillentik stabil egyensúlyi állapotából, és kritikus instabil helyzetbe vezérelhetik. A kritikus instabil helyzetből többféle átmeneti út (bifurkációk) vezetheti el a rendszert általában magasabb szervezettségi szinten megjelenő új stabil állapotba. A bifurkáció alábbi típusai különböztethetők meg: finom hajszálnyi - sima és egyenletes átalakulás, katasztrofális - hirtelen átalakulás, explozív - hirtelen és nem-folytonos tényezők a rendszert egyik állapotból egy másikba transzformálják.
Bifurkáció esetén a periódus-kettőződés jelensége áll fenn, amit további perióduskettőződések sorozata követhet. A periódus-kettőződés a káoszhoz vezető egyik út, aminek során egy oszcilláló rendszer periódusa ismétlődően megduplázódik valamely paraméterének megváltoztatása folytán. A periódus-kettőződés révén kaotikussá váló periodikus rendszerek esetében a rendszer állapotának periódusa újra meg újra megduplázódik (amíg a periódus végtelen hosszúvá nem válik). Másként fogalmazva, ha egy rendszer egy vagy több paraméter megváltoztatásának hatására nem-periodikus időfüggésűvé válik, akkor a rendszer a káosz felé tart. Az attraktor a rendszer viselkedését hosszú távon mutató geometriai forma, a stabil fixpontok által alkotott ciklusok. Az attraktor - mint ponthalmaz - magához vonzza azokat, a különböző kiindulási feltételekhez tartozó trajektóriákat, amelyek pályája a rendszert érő enyhe zavar esetén végül visszatér az attraktorhoz. Egy rendszerhez több attraktor is tartozhat, hiszen különböző kiinduló feltételek eltérő attraktorokat hozhatnak létre.
A matematikai algoritmusokat a számítógépes programok transzformálják geometriai formákká.
Az attraktoroknak két fajtája ismeretes: az egyszerű és a különös attraktor. Az egyszerű, nem-kaotikus attraktor kétféle formában jelenik meg: csillapodó oszcilláció, másképpen fixpontú attraktor = stacionárius állapot, periodikus oszcilláció = oszcilláció a stacionárius állapot körül.
A különös attraktor kaotikus attraktorként ismert. Ez esetben az explozív oszcilláció nem-stacionárius állapotot idéz elő a nem lineáris rendszerekben. A jól ismert Lorenz attraktor számítógépes rajzai szemléletesen mutatják, hogy a káosznak struktúrája van, ami elegendő számú számítógépes futással kimutatható. A fraktálok tört dimenziójú kaotikus attraktorok, nem egész dimenziójú matematikai struktúrát vagy görbét jelölnek. Tulajdonságuk, hogy önhasonlóak, struktúra-ismétlőek. Ez azt jelenti, hogy bármely apró részletük ugyanolyan felépítésű, mint az egész rendszer. A fraktálok adják a káosz építőköveit, blokkjait. A természet által generált fraktálok között pl. különböző levélminták, hópehelyminták találhatók. Az emberi szervezetben a levegő- és a véráramlás útjai mutatnak érdekes fraktál hálózatot. Ezek olyan alakzatok, amelyek nem írhatók le az euklideszi geometria segítségével, mert túlzottan szabálytalanok A káosz geometriája a fraktálgeometria. Fontos, hogy egy fraktálkép, amit látunk az soha sem az egész kép. Soha sem lehet megjeleníteni az egészet, mert a műveletet mindig el lehet végezni újra. Ez azt jelenti, hogy valóban végtelen, és a végtelen nem fér bele az idő és a tér véges korlátai közé. A teljes kép kizárólag a művelettel írható le. Maga az utasítássorozat jelenti a teljes képet, ha fraktálnak tekintünk egy halmazt, amely finom felépítésű, tetszőleges kicsi léptékre nézve további részleteket mutat, túlságosan szabálytalan, hogy a hagyományos geometria nyelvén leírható legyen, gyakran az önhasonlóság valamilyen formájával rendelkezik, esetleg közelítő vagy statisztikus értelemben, általában (valamilyen módon definiált) “fraktál dimenziója” amely többnyire egy nem egész szám, eltér a szokásos értelemben vett térbeli dimenziójától, a legtöbb érdeklődésre számot tartó esetben rendkívül egyszerűen előállítható, például rekurzívan, azaz minden új eleme a korábban meghatározottak segítségével felírható. Ezt alkalmazzuk a programozásban is. Ha a természetből akarunk példát nézzük meg a páfrány leveleit vagy a korallokat.
Az általunk vizsgált dinamikai rendszert folytonos differenciál egyenletekkel tudjuk leírni a kapott eredmény a fázistérben hibás lesz, mert bizonyos adott időközönként jegyezzük fel a rendszer fázistérbeli helyzetét illetve pillanatnyi állapotát. Számtalan leképezéselmélet létezik de mindegyik sántít az itt leírtak miatt. A kaotikus rendszer tehát gyakran szabálytalan mozgást eredményez, a kis kezdeti eltérések exponenciálisan nőnek az idő függvényében és a komplex rendszerekre jellemző bonyolult fázistérbeli geometria alakzatokkal írható le topológikus entrópiával, mint a fraktálelméletek. A periodikus pályák száma exponenciálisan nő a periódus hosszának növekedésével
a kaotikus disszipatív rendszerekben a mozgás hosszú idő után egy bonyolult geometriájú alakzaton, különös attraktoron zajlik, ezt a struktúrát a fraktáldimenzióval elég nehéz leírni. A konzervatív erőknek különleges szerepük van a fizikában, mert csak ilyen erők által végzett munka független az úttól, továbbá a mechanikai energia is csak konzervatív erők esetén állandó. A természetben azonban találkozunk olyan erőkkel is, amelyek nem konzervatívak, mint a keletkezett hő vagy a súrlódási erő, az időtől vagy a tömegpont sebességétől függő erő. Ezek a nem konzervatív tényezők tovább igazolják a káoszelméletemet. Persze a tévesen konzervatív rendszerként kezelt komplex rendszerek nem mutatnak fraktáltulajdonságot, a reguláris szigetek úgynevezett kövér fraktált alkotnak, ami téves következtetéseket eredményez, lásd a meteorológiát. A határérték számítás segítségével kitudjuk számolni a görbe vonalak által határolt területet, de még azt is csak némi hibaszázalékkal,és azt képzeljük magunkról megtudjuk határozni egy ciklon irányát, miközben több ezer általunk nem ismert pillangóhatás befolyásolja, mi ez ha nem az emberi butaság superlativusa. Differencia egyenletet használnak modellezésére és ha találnak egy ismétlést ami permutáció eredménye törvényszerűséget építenek fölé. Az absztrakt algebrában és a kombinatorikában egy a halmaz permutációján annak önmagára vett bijektív leképezését értjük, de az lehet egy végtelen halmaz is ami a mi modellezésünkben persze véges, ami egy téves konklúzióhoz vezet, mert az elemek egy meghatározott ponton vizsgált átrendezését látjuk, de ez korántsem a végeredmény. Viszont a kaotikus esetben abszolúte nem lehet megjósolni egy adott kiindulópontból, hogy mi lesz a következmény, látható, hogy a kiindulóállapotban egy aprónak tűnő momentum is az időtényező változásával egy merőben más eredményt hoz.
A természetes rendszerek többsége (mint pl. az időjárás) olyan, mint az állatpopuláció kaotikus r értékkel. Ebben az esetben pedig már egy nagyon kicsi eltérés is a kezdeti feltételekben elég ahhoz, hogy a közeli jövő teljesen megváltozzon. Az, hogy a pillangó meglebegteti-e a szárnyát vagy sem, apró, látszólag jelentéktelen eltérés. Ám a jövő módosul, és többé senki nem tudja megjósolni, hogy az eső esni fog-e vagy sem. A gyakorlatban nem tudunk minden apró részletet figyelembe venni, ám mivel az apró részletek is megjósolhatatlanná teszik a jövőt egy kaotikus rendszerben, lehetetlen hosszú távon jövőbe látni. Néhány napnál hosszabb előrejelzéseket soha nem adnak, vagy csak nagy vonalakban, mert nagy a szórás. Pedig az időjárást leíró fizikai képleteket nagyon jól ismerjük, és vannak elég gyors számítógépek ahhoz, hogy akármekkora távra előre kiszámolják a jövő időjárását a jelen helyzetből kiindulva, de a befolyásolótényezők is fraktálban vannak és ezért ott is gigantikus variációk és permutációk alakítják a végeredményt. A differenciális egyenletekkel akarjuk leírni a nem differenciális valóságot. Íme egy hipotézisem; a világ körökből áll. Bizonyítsa be valaki az ellenkezőjét, bizony beletörik a bicskája a nagy Nobeldíjjas tudósoknak, pedig én csak egy egyszerű ember vagyok aki felvetett egy elméletet. Lássuk az én érvelésemet; A gömb a legegyszerűbb 3D alakzat, amit a legkönnyebb leírni egy függvénnyel és most azt állítom minden körökből épül fel. Végtelen kicsi pontok, amik valójában gömbök. A fraktálelmélet értelmében végtelen bonyolult alakzatok állíthatók elő belőle, végtelen permutációk és változatok, az idő múlásával. A gömb végtelen körből épül fel, amivel tovább bontom az elméletemet. Ezért hiba lineáris egyenletekkel leírni nem lineáris kompex rendszerek működését.
A káosz szó használata megtévesztő lehet arra a jelenségre, amit a tudományos életben kaotikusnak nevezünk. A káosz mindennapi értelemben zűrzavart jelent, ami a tudományos értelmezésben félreértésre adhat okot. Ekkor a káosz jelenség merőben eltér a hétköznapi értelemben vett jelentésétől. Sőt, ha megnézzük a szó eredeti görög jelentését is, ami üresség vagy semmi, akkor fokozottan igaz ez. A tudományos közfelfogásban tárgyalt káosz jelentése merőben más, és nehezen is definiálható.
Általában úgy gondoljuk, hogy valamilyen matematikai, vagy fizikai jelenségről van szó. De a káosz sokkal több ennél, átszövi az életünk minden területét, ezáltal, a matematika, a fizika mellett, a közgazdaságtan, biológia, ökológia, szociológia tudományok szótárában is megtaláljuk. És bár a káosz természettudományos következményei alapvetően újak és fontosak, nem sajátíthatja ki emiatt egyetlen tudomány sem. A káosz minden természettudomány, sőt minden olyan tudomány sajátja, melyben a matematikai leírás hasznosnak bizonyul.
Ebből is következik, hogy a káosz fogalmára pontos definíció nem létezik, de a fogalom tisztázásának érdekében fontos annak értelmezése. A legegyszerűbb, és a matematikusok által javasolt meghatározás így hangzik: A káosz a determinisztikus rendszerekben előforduló sztochasztikus viselkedés. Mint említettük a káosz fogalmára nem találunk egzakt definíciót. Egyfajta periodikusság nélküli rend. Látszólag véletlenszerűen ismétlődő viselkedés egy egyszerű determinisztikus (óraműszerűen viselkedő) rendszeren belül. A determinisztikus nemlineáris dinamikus rendszereken belüli instabil, aperiodikus viselkedés kvalitatív tanulmányozása. Az egyszerű, beépített véletlenszerű vonások nélküli modellek azon képessége, hogy nagyon szabálytalan viselkedést tanúsítsanak, vagyis jelenség amelyben szabályszerűséget keresünk, és megpróbáljuk leírni lineáris egyenletekkel. A fraktál egy olyan topológia, amely egyszerű szabályokkal leírható, ám minden szinten ismétli önmagát így végtelenségig növelhető. A fázisdiagram egy rendszer összes tulajdonságát együtt tartalmazó ábra, amely a rendszer lehetséges állapotait tükrözi.A pillangó-effektus kaotikus rendszerekben gyakori, hogy a kiindulási feltételek kismértékű megváltoztatása is nagy mértékű változásokat idéz elő egy rendszer állapotában x időn belül.A differencia egyenlet egy olyan képlet, amelynek segítségével egy rendszer jelenlegi állapotát ismerve a következő megkapható, vagyis aminek a segítségével sorozat alkotható. Pl.: xn+1 = r xn (1 - xn ) így a differenciál egyenlet képlete ami a rendszer pillanatnyi állapotát és annak változását írja le. A nemlineáris egyenletek olyan differenciálegyenlet, amelyben a függő változó végtelen sok értéket vehet fel a tényezők nagy száma miatt egy exponenciálisan változó hibás eredményt ad.
A káoszelmélet egy új, kialakulóban lévő tudomány, amelynek a fókuszában a nemlineáris rendszerek vannak. A káosz fogalom értelmezéséből is láthatjuk, hogy a káoszelmélet inerdiszciplináris tudomány. A káoszelmélet átlépi a tudományágak határait, s a rendszerek általános természetének tudománya lévén, közelebb hozza egymáshoz a korábban szigorúan elkülönült területek kutatóit. A káosz kutatása nagyon sok olyan kérdést vet fel, amely a tudomány szokásos kutatási módszereinek lehetőségeit meghaladja. Az elmélet jól csengő nevén túl számtalan új fogalommal gazdagította eddig is a képünket a világról. Az egész tehát több mint a részek összessége! A bonyolult rendszerek, a kaotikus jelenségek mint a felhők mozgása, a villámlás irányvonala, a vérerek mikroszkopikus összefonódása, a csillagok galaktikus tömörülése és a tőzsdei árfolyam-ingadozások a lottósorsolás, a cunamik, a földrengések, az aszteroidák mozgása mind felvetnek kérdéseket amikre választ nehéz adni. Kijelenthetem hogy a káosz ott kezdődik, ahol a klasszikus tudomány véget ér.Természetéből adódóan a káosz dinamikus jelenség, akkor fordul elő, amikor valami megváltozik. A változásnak ebben az értelemben két formáját határozhatjuk meg egyrészt a klasszikus fizika és dinamika által vizsgált változásokat, másrészt a kaotikus változásokat. Azokat a dolgokat, amelyek egy adott szituációban megváltozhatnak a káoszelméletben is változóknak nevezzük. Az egyszerűség és komplexitás, illetve a rendezettség és rendezetlenség közötti mélyen rejlő összefüggések feltárása révén összekapcsolja mindennapos tapasztalatainkat a természet törvényeivel. Olyan világegyetemet mutat be, ami egyszerre determinisztikus és a fizika alaptörvényeinek engedelmeskedik, ám ugyanakkor képes arra is, hogy rendezetlen, komplex és előrejelezhetetlen legyen. Megmutatja, hogy az előrejelezhetőség ritka jelenség, s csak azokon a határokon belül működik, amelyeket a tudomány kiszűrt összetett világunk sokféleségéből. Lehetőséget teremt arra, hogy leegyszerűsítsünk komplex jelenségeket. Egyesíti a képzeletgazdag matematikát a modern számítógépek lenyűgöző számító kapacitásával. Kétségbe vonja a tudomány hagyományos modellépítő eljárásait. Megmutatja, hogy a megértésnek és a jövőbeli események előrejelzésének minden összetettségi szinten önmagukból fakadó korlátai vannak.
A lélegzetelállító számítókapacitás, ami lehetővé teszi a kutatók számára, hogy másodpercek alatt akár több száz millió bonyolult számítást is elvégezzenek. A számítókapacitás növekedésével együtt megnőtt a tudományos érdeklődés az olyan rendhagyó jelenségek iránt, mint pl.:
az időjárás véletlenszerű változásai,
a járványok terjedése,
a sejtek anyagcseréje,
a rovarok és madarak számának ingadozása,
a civilizációk felemelkedése és bukása,
az impulzusok terjedése az idegek mentén stb.
A káoszelmélet akkor született meg, amikor az említett fejlemények a geometriai matematika egy új ágában egyesültek, amely túllépett az euklideszi geometria ismert alakzatain és eljutott a fraktál geometria nem euklideszi struktúráiig.
A kaotikus rendszer állapotaira jellemző, hogy mozgásegyenletekkel, nem lineáris differenciál egyenletekkel írható le mozgásegyenlet egyik állapotból egy másik állapotba viszi a rendszert a rendszer viselkedését nyomon követjük bizonyos állapotfejlődési görbék, trajektóriák segítségével a trajektóriák (idő utak, időösvények) viselkedéséből következtetni lehet arra, hogy a rendszer káoszmentes vagy kaotikus a viselkedése. Kaotikus viselkedés esetén a két trajektória a fázistérben gyorsan, exponenciálisan távolodik, divergál egymástól az idő múlásával. A kaotikus rendszerek erősen és gyengén kaotikus rendszerek lehetnek. Az erősen kaotikus rendszerekben a trajektóriák exponenciális görbe mentén távolodnak egymástól, a kis hibák felerősödnek az exponenciális hibaerősítő mentén. A gyengén kaotikus rendszerekben a trajektóriák parabolikus görbe mentén távolodnak egymástól. A káosz határát súrolják, de nem érik el. A gyengén kaotikus rendszerek nyílt rendszerek, amelyek kölcsönhatásban vannak a környezettel. Sohasem kerülnek egyensúlyi állapotba, hanem egyik metastabil állapotból jutnak a másikba. Ezek a rendszerek tulajdonképpen stabilak, mert fennmaradnak a változó körülmények mellett is, hiszen rugalmasan reagálnak a megváltozott feltételekre. Kaotikus viselkedés esetén csak rövid távra lehet egzakt előrejelzést készíteni. Hosszú távon a trajektóriák exponenciálisan távolodnak egymástól, s nehéz következtetni hol létükre. A távolodás sebessége 0-hoz konvergál. Hosszú távú előrejelzés csak a kezdeti feltételek végtelen pontosságú ismeretében lenne lehetséges. Nem-kaotikus viselkedés esetén a jelenben egymáshoz közeli két trajektória nem távolodik egymástól, illetve a távolodás kicsiny mértéke hosszabb távon is lehetőséget ad az egzakt előrejelzéshez. A kaotikus viselkedés oka a rendszer nemlineáris természete. Ez azt jelenti, hogy a rendszer valamely, input paraméterének megváltozására adott válasza nem arányos a szóban forgó változással. Nemlineáris természetű pl. az időjárás, a folyadékok turbulens áramlása. A nem-linearitással kapcsolatos problémák tehát a fizika, a kémia, sőt a biológia és a társadalomtudományok területén is megjelentek. Ezért e tudományok a nem-linearitást, mint a társadalom számos területén megjelenő, azonos jellemzőkkel leírható interdiszciplináris jelenséget kezdték vizsgálni. A nemlineáris rendszerek rendkívül érzékenyek a kezdőfeltételekre. A kezdőfeltételekre való érzékenység jól érzékelhető az ún. pillangóeffektussal. A pillangóeffektus kifejezéssel szimbolizált érzékenység úgy illusztrálható, hogy egy pillangó finom szárnycsapásai egy távolabbi régióban hatalmas szélviharokat, hurrikánokat idézhetnek elő. Azaz a mikroszkopikus méretű változások makroszkopikus méretűvé transzformálódnak. Ezt a jelenséget a kis okok (generálta) nagy hatások jelenségének is nevezik. Kaotikus viselkedés esetén a jövőre vonatkozóan különböző pályák jelennek meg, vagyis bekövetkezik a bifurkáció jelensége, ami kettéágazást jelent. Ha a nemlineáris rendszerek viselkedését leíró differencia- és differenciálegyenletekben az egyensúlyi pont instabillá válik, akkor alakul ki a bifurkáció. Úgy is fogalmazhatjuk, hogy nemlineáris egyenletek esetén előálló, minőségileg eltérő megoldások együttese. Bifurkáció esetén tehát a periodikus kettőződés jelensége áll fenn, amit további perióduskettőződések sorozata követhet. A rendszer két, egymástól lényegesen eltérő állapotú viselkedési formát vehet fel. A periódus-kettőződés a káoszhoz vezető egyik út, aminek során egy oszcilláló rendszer periódusa ismétlődően megduplázódik valamely paraméterének megváltoztatása folytán. A bifurkáció kialakulásakor egy dinamikus rendszer átalakulása megy végbe, általában stabilabb és egyszerűbb állapotából kevésbé stabil és komplexebb állapotába. Szemléletesen is ábrázolható, hogy egy adott szervezettségi szinten stabil rendszert a felerősödő fluktuációk kibillentik stabil egyensúlyi állapotából, és kritikus instabil helyzetbe vezérelhetik. A kritikus instabil helyzetből többféle átmeneti út (bifurkációk) vezetheti el a rendszert általában magasabb szervezettségi szinten megjelenő új stabil állapotba. A bifurkáció alábbi típusai különböztethetők meg: finom hajszálnyi - sima és egyenletes átalakulás, katasztrofális - hirtelen átalakulás, explozív - hirtelen és nem-folytonos tényezők a rendszert egyik állapotból egy másikba transzformálják.
Bifurkáció esetén a periódus-kettőződés jelensége áll fenn, amit további perióduskettőződések sorozata követhet. A periódus-kettőződés a káoszhoz vezető egyik út, aminek során egy oszcilláló rendszer periódusa ismétlődően megduplázódik valamely paraméterének megváltoztatása folytán. A periódus-kettőződés révén kaotikussá váló periodikus rendszerek esetében a rendszer állapotának periódusa újra meg újra megduplázódik (amíg a periódus végtelen hosszúvá nem válik). Másként fogalmazva, ha egy rendszer egy vagy több paraméter megváltoztatásának hatására nem-periodikus időfüggésűvé válik, akkor a rendszer a káosz felé tart. Az attraktor a rendszer viselkedését hosszú távon mutató geometriai forma, a stabil fixpontok által alkotott ciklusok. Az attraktor - mint ponthalmaz - magához vonzza azokat, a különböző kiindulási feltételekhez tartozó trajektóriákat, amelyek pályája a rendszert érő enyhe zavar esetén végül visszatér az attraktorhoz. Egy rendszerhez több attraktor is tartozhat, hiszen különböző kiinduló feltételek eltérő attraktorokat hozhatnak létre.
A matematikai algoritmusokat a számítógépes programok transzformálják geometriai formákká.
Az attraktoroknak két fajtája ismeretes: az egyszerű és a különös attraktor. Az egyszerű, nem-kaotikus attraktor kétféle formában jelenik meg: csillapodó oszcilláció, másképpen fixpontú attraktor = stacionárius állapot, periodikus oszcilláció = oszcilláció a stacionárius állapot körül.
A különös attraktor kaotikus attraktorként ismert. Ez esetben az explozív oszcilláció nem-stacionárius állapotot idéz elő a nem lineáris rendszerekben. A jól ismert Lorenz attraktor számítógépes rajzai szemléletesen mutatják, hogy a káosznak struktúrája van, ami elegendő számú számítógépes futással kimutatható. A fraktálok tört dimenziójú kaotikus attraktorok, nem egész dimenziójú matematikai struktúrát vagy görbét jelölnek. Tulajdonságuk, hogy önhasonlóak, struktúra-ismétlőek. Ez azt jelenti, hogy bármely apró részletük ugyanolyan felépítésű, mint az egész rendszer. A fraktálok adják a káosz építőköveit, blokkjait. A természet által generált fraktálok között pl. különböző levélminták, hópehelyminták találhatók. Az emberi szervezetben a levegő- és a véráramlás útjai mutatnak érdekes fraktál hálózatot. Ezek olyan alakzatok, amelyek nem írhatók le az euklideszi geometria segítségével, mert túlzottan szabálytalanok A káosz geometriája a fraktálgeometria. Fontos, hogy egy fraktálkép, amit látunk az soha sem az egész kép. Soha sem lehet megjeleníteni az egészet, mert a műveletet mindig el lehet végezni újra. Ez azt jelenti, hogy valóban végtelen, és a végtelen nem fér bele az idő és a tér véges korlátai közé. A teljes kép kizárólag a művelettel írható le. Maga az utasítássorozat jelenti a teljes képet, ha fraktálnak tekintünk egy halmazt, amely finom felépítésű, tetszőleges kicsi léptékre nézve további részleteket mutat, túlságosan szabálytalan, hogy a hagyományos geometria nyelvén leírható legyen, gyakran az önhasonlóság valamilyen formájával rendelkezik, esetleg közelítő vagy statisztikus értelemben, általában (valamilyen módon definiált) “fraktál dimenziója” amely többnyire egy nem egész szám, eltér a szokásos értelemben vett térbeli dimenziójától, a legtöbb érdeklődésre számot tartó esetben rendkívül egyszerűen előállítható, például rekurzívan, azaz minden új eleme a korábban meghatározottak segítségével felírható. Ezt alkalmazzuk a programozásban is. Ha a természetből akarunk példát nézzük meg a páfrány leveleit vagy a korallokat.
