A hipergeometrikus eloszlás, avagy a nagy lottó átverés

A hit hegyeket mozgat meg, a lottó a szegények ópiuma. Jelöljük t-vel a találatok számát: A kapott számok így elsőre nem sokat mondhatnak. Fordítsuk le őket érthető nyelvre! Kezdjük hátulról: a "nullás" valószínűsége kb. 0,74. erre van a legnagyobb esély. Ezt úgy kell érteni, hogy minden 4 véletlenszerűen kitöltött szelvényből általában 3-on nem lesz találatunk. Az egyes valószínűsége kb. 0,23, azaz minden 4 kitöltött szelvényből egy darabon lesz egyesünk. A ketteshez (ez már fizet :-) körülbelül 50 szelvényt kell kitölteni, hármast 1250, négyest 100000 és ötöst kb. 44 millió darab véletlenszerűen kitöltött szelvény után várhatunk. A pontos számokat a felírt törtek reciprokaiként kapjuk. A fenti események teljes eseményrendszert alkotnak, ugyanis egymást kizárják, egyik sem lehetetlen esemény és összegük maga az eseménytér, hiszen más eredményt nem érhetünk el. Ekkor valószínűségeik összegének 1-t kell adnia, amit kerekítési hiba erejéig számológéppel is ellenőrizhetünk.
 Általánosíthatjuk is a példánkat, hogy más "N-ből n" típusú lottójátékra is alkalmazhassuk. A találatok számát most is t-vel jelölöm:  Adott N, n paraméterekre (N elemű halmazból választott n elemű mintára) az összes lehetséges t = 0, 1, 2, ..., n értékeket végigtekintve teljes eseményrendszert kapunk. 
Esélyek 
az Eurojackpotnál
1:95.344.200, kéteurós részvételi díj mellett adózás után 190 millió eurónak kellene lennie a nyereménynek, jelenleg bruttó 46 millió euró. (de az Eurojackpotból még adózni is kell.)

az ötöslottónál  
1:43,9 millióhoz

1 : 43 949 268 - telitalálat

1 : 103 410 - négy találat

1 : 1 231 - három találat

1 : 45 - kettő találat
Összes kihúzható számvariáció (db): 90!/85!=5273912160

Telitalálat esély (%): 0.00000001896125626787
szánalmas az esély, minimum két találat kell a nyereményhez -> összes lehetőség (db): 90!/88!=8010 még ez is elkeserítő, minimum nyeremény esély (%): 0.0124843945068664 

a hatoslottónál  1:8,1 millióhoz esély már egy kicsit jobb mint az előzőnél

1 : 8 145 060 - telitalálat

1 : 34 808 - öt találat

1 : 733 - négy találat

1 : 45 - három találat

Összes kihúzható számvariáció (db): 45!/39!=5864443200

 Telitalálat esély (%): 0.00000001705191722208

Minimum három találat kell a nyereményhez -> összes lehetőség (db): 45!/42!=85140

Minimum nyeremény esély (%): 0.00117453605825699

de a skandinávnál még kedvezőbb a helyzet  1 :3,3 millióhoz 
1 :  3 362 260 - telitalálat
1 : 17 154 - hat találat

1 : 424 - öt találat

1 : 29 - négy találat

Összes kihúzható számvariáció (db): 35!/28!=33891580800

Telitalálat esély (%): 0.00000000295058529698

Minimum négy találat kell a nyereményhez -> összes lehetőség (db): 35!/31!=1256640

Minimum nyeremény esély (%): 0.0000795772854596384

Elméletileg a skandináv lottót 13x nagyobb nyerési esélye van mint az 5-ös lottónak!
A joker esetén 1:999999-hez az esély

A számötös első számát 90 féle képen választhatjuk meg. A második esetében már csak 89 választásunk maradt, a harmadiknál 88, a negyediknél 87, végül az ötödiknél 86. Így összesen 90*89*88*87*86 féle különböző öttagú számsorozatot kapunk, itt azonban számított a kiválasztás sorrendje is. Minket azonban csak az érdekel, hogy hányféle számötöst lehet kiválasztani a 90 szám közül - a számok sorrendje nem lényeges (ahogy a lottóhúzásnál sem). Egy öttagú számsorozat lehetséges sorrendjeit is a a fentiekhez hasonlóan számolhatjuk össze, vagyis 5*4*3*2 létezik belőlük. Ezzel a számmal osztva 90*89*88*87*86 szorzatot, eljutunk az összes lehetséges számötös számához. 

Tehát jelenleg akkor jársz a legjobban, ha egyáltalán nem lottózol! Ha mégis akarsz, akkor jokerrel van a legnagyobb esély, ami ott 1:999999-hez.