A játékelméleti fogalmak minimax stratégia, nyeregpont,
kevert stratégia, kooperatív játékelmélet. Játékelmélet előfeltevései; A játékok még
hordozzák az emberi viselkedés specifikumait (szabadság, döntés, racionalitás),
miközben már elég egyszerűek ahhoz, hogy matematikailag elemezni lehessen. Neumann János a társas viselkedés alapproblémáját a következőképp
fogalmazta meg: „n játékos, S1, S2, …Sn egy adott társasjátékot játszik. Hogyan
kell a játékosok egyikének, Si-nek játszani, hogy a lehető legkedvezőbb
eredményt érje el? A kérdésfeltevés általánosan ismert, és aligha van a
mindennapi életnek olyan kérdése, amelyben ez a probléma ne szerepelne; ennek
ellenére a kérdés értelme nem egyértelműen világos, mert mihelyt n > 1 (azaz
tulajdonképpeni játékról van szó), minden egyes játékos sorsa saját cselekvésén
kívül még játékostársai cselekedeteitől is függ; és ezek magatartásán pontosan
ugyanazok az önző indítékok uralkodnak, amelyeket az első játékosnál meg
szeretnénk határozni. Érezhető, hogy a dolog lényegében rejlik bizonyos
körkörösség. Feltétételei a következők. (i) Vannak játékosok, aki szuverén módon és szabadon
választhatnak a különböző stratégiák között. (ii) Az játékosok önzők és a
„lehető legkedvezőbb eredményre” törekszenek (a játék szabályrendszerein
belül). (iii) Egy játékos eredménye nemcsak a saját, hanem a többi játékos
viselkedésétől is függ. Minden játék egy olyan verseny szituáció, ahol a
játékosok az önérdeküket a játékszabályok adta kereteken belül próbálják
érvényesíteni. Az ilyen helyzeteket elemezve a játékelmélet mindig a szabályok
adta kereteken belül marad. Az
egyik fontos alkalmazási területet jelentik a verseny szituációk – legyenek
azok gazdasági, katonai, politikai, szociológiai vagy éppen biológiai
jellegűek. Ezeket a helyzeteket egyidejűleg jellemzi az önérdek és a természeti
vagy társadalmi törvényekből fakadó szabályrendszer. A játékelméleti
modellek két irányba is torzítanak. Egyrészt a hús-vér emberek gyakran
önzetlenek, mert szeretnek, szolidárisak vagy éppen önfeláldozók, szemben a
játékosokkal, akik mindig önzők. Másrészt a hús-vér emberek sokkal kevésbé
szabálykövetők, mint a játékosok. Ezzel a megszorítással, azonban a
játékelmélet jól alkalmazható a legkülönbözőbb társas helyzetek elemzésére. Sőt
a társasjátékok logikájának a segítségével a kölcsönösen előnyös
együttműködések is leírhatók. Ezt már Neumann is felismerte és a nem-kooperatív
játékelmélet mellett megalapozta a kooperatív játékelméletet is. Természetesen
a kooperatív játékelméletben kialakuló együttműködések mögött is mindig „önző
indítékok” állnak. Egy matematikus számára elsősorban a játék interaktív
jellege (iii pont) az érdekes. Miután a játékelmélet a priori azonosítja a
„lehető legkedvezőbb eredményt”, illetve az „önző indítékot” a racionális
viselkedéssel, felteszi a kérdést, hogy mit jelent a racionalitás interaktív
helyzetben? Erre a kérdésre nem-interaktív (parametrikus) helyzetekben, például
a gazdasági helyzetek többségében egyszerű a válasz. Az önző Homo
eoconomicus-ok megpróbálják maximalizálni a nyereségüket vagy a várható
nyereségüket. Interaktív helyzetekben a nyereségmaximalizálás jelentése
homályos. A probléma a következő: az egyén racionális magatartása akkor
meghatározható, ha mások magatartását apriorisztikusan ismertnek tételezzük.
Mások racionális magatartása azonban nem lehet a priori ismert, mivel azt az
egyén racionális magatartása is befolyásolja! A minimax elv beczetése fontos momnetum. Először is különbséget tett a tiszta stratégiai
játékok (pl. malom, snóbli), és a tiszta szerencsejátékok (pl. kockajáték,
rulett) között. A legtöbb társasjátékban (pl. bridzs, ulti) azonban a
véletlennek és a stratégiának is szerepe van. A játékelmélet stratégiai
játékokkal foglalkozik, ahol a játékos döntéseinek meghatározó szerepe van a
játék kimenetelében. A legegyszerűbb stratégiai játékok a kétszemélyes állandó
összegű játékok, mint pl. a sakk vagy a kétszemélyes társasjátékok és
kártyajátékok. Könnyű azokat az erőket elképzelni, amelyek egy ilyen döntési
helyzetben egymással harcolnak. Mint egy kötélhúzási versenyben
a felek két oldalról húzzák a kötelet, és mindkét fél arra törekszik, hogy a
kötelet a saját oldalára húzza. Azaz a saját nyereségét mindkét fél
maximalizálni, s ami ezzel egyenértékű a másik nyereségét minimalizálni akarja.
Természetesen mindkét játékos törekedhet arra, hogy az egész nyereség az övé
legyen, de ezt a másik fél döntéseivel megakadályozhatja. Sőt, aki a maximális
nyereségre törekszik, kiteszi magát annak a veszélynek, hogy a biztosan
elérhetőnél is kevesebbet nyernek. Azaz a nyereségmaximalizáló viselkedés
könnyen vezethet minimális nyereséghez. Ezekben a helyzetekben a minimax elvet kell
követni. Ezzel a viselkedéssel a felek maximalizálni tudják a minimális
nyereségüket, vagy másként fogalmazva: minimalizálni tudják az ellenfelük
maximális nyereségét. A minimax elv alapvetően realista – néha a pesszimista
terminust használják –, mert feltételezi, hogy a rivális meg fogja találni a
számára a legjobb és az alany számára a legrosszabb ellenlépést. Kétszemélyes játék esetében a minimax stratégia követése
praktikusan a következő eljárást jelenti. A játékos megvizsgálja, hogy az egyes
stratégiák esetében – amit egy mátrix esetében sorok és oszlopok jelképeznek –
mi a legrosszabb kimenetel, más szóval megkeresi a sorminimumokat, majd azt a
stratégiát (sort) választja, ahol ez a minimális érték a legnagyobb. Hasonló
elgondolás alapján dönt a másik fél is. A minimax stratégia a legokosabb
rivális ellen is biztosítja a legrosszabb kimenetelek közül a legjobbat,
kevésbé okos ellenfél esetén pedig még jobb eredményt is. Ezzel a stratégiával
mindkét játékos a maximális veszteségét minimalizálja. A minimax stratégia bizonyos vonatkozásban megőrzi az
eredeti maximalizálási kritériumot, amennyiben azt javasolja, hogy a minimális
nyereségek közül válasszuk a maximumot. Neumann már 1928-ban bebizonyította,
hogy minden kétszemélyes, véges stratégiából álló, állandó összegű játéknak van
megoldása. Ezt a pontot Neumann nyeregpontnak (saddle point) nevezte. A
kétszemélyes állandó összegű mátrix játékokra jellemző ábrázolási módban az az
elem a nyeregpont, amelyre egyidejűleg igaz, hogy a legkisebb az értéke az
oszlopban és a legnagyobb a sorban. A kevert stratégiák erdményesebbek. Látszólag a minimax stratégia választásának elve sem
alkalmazható minden interakcióban. Gondoljunk csak például a közismert kő –
papír – olló játékra. Ebben a játékban nem jó stratégia mindig valamilyen
tiszta stratégiát választani pl. papírt, mert az ellenfél erre gyorsan rájön, s
akkor ollót választva mindig nyerni fog. Neumann előtt azt gondolták, hogy az
okos emberek a játék előzményeiből képesek kitalálni a másik gondolát és így
képesek mindig győzni. De a snóbli játékban az
előzményekből és ellenfele arcjátékából következtetve találja ki, hogy az mit
fog választani és így mindig legyőzi az ellenfelét. Ez az út járhatatlan, helyette a tiszta stratégiák
közötti véletlenszerű választást javasolja. A kő – papír – olló esetében a
játékosoknak 1/3 valószínűséggel véletlenszerűen kell választani a három tiszta
stratégiájukból. A kevert stratégia (mixed strategy) tehát a tiszta stratégiák
választási gyakoriságához rendelt valószínűség. Mivel a választás
véletlenszerű, ezért az ellenfél elve nem tudja kitalálni azt. Ha a kevert
stratégiákat is figyelembe vesszük, akkor a kő – papír – olló típusú játékok is
teljesen egyértelművé válnak. Tehát a kevert stratégiák világában ezeknek a
játékoknak is van egy kevert nyeregpontjuk, s mindkét fél érdeke azt diktálja,
hogy erre az absztrakt nyeregpontra törekedjen.
Nincsenek megjegyzések:
Megjegyzés küldése