A szabadkőművesek évezredes titka a szent geometria. Az aranymetszés egy olyan arányosság, ami a természetben és művészetben is gyakran megjelenik, természetes egyensúlyt teremtve a szimmetria és az aszimmetria között. Aranymetszési arányok találhatók számos ókori épületen, középkori és reneszánsz képzőművészeti alkotásokon. Az ókori püthagoreusok (Püthagorasz és követői), akik szerint a valóság matematikai alapokon nyugszik, az aranymetszésben a létezés egyik alaptörvényét vélték felfedezni, ugyanis ez az arány felismerhető a természetben is (például az emberi testen vagy csigák mészvázán).
Gyakori megjelenése miatt a geometriában már ókori matematikusok is tanulmányozták az aranymetszést. Bizonyíthatóan az ókori Egyiptomban is értették és használták ezt a törvényszerűséget. Az i. e. 2600 körül épült gízai Nagy-piramis arányaiban is felfedezhető az aranymetszés aránya. A piramis alapélének a fele (átlag 115,18 m) és oldallapjainak a magassága (kb. 186,42 m)[1] az aranymetszés szerint aránylik egymáshoz (0,03%-os eltéréssel, ami hibahatáron belülinek tekinthető). Az ókori görögök is ismerték ezt az arányt. Püthagorasz, Theodórosz és Eukleidész is foglalkozott vele. Az aranymetszés jelölése, a Φ (görög nagy fí betű) Pheidiász görög szobrász nevéből származik, aki gyakran alkalmazta munkájában. Az aranymetszés arányait tartalmazó formák máig nagy esztétikai értékkel bírnak, számos területen (például a tipográfiában vagy a fényképészetben) alkalmazzák őket. Két rész (a és b, a>b) az aranymetszés szerint aránylik egymáshoz, ha az egész (a+b) úgy aránylik a nagyobbik részhez (a), ahogy a nagyobbik rész (a) a kisebbik részhez (b):
Aranymetszésről beszélünk, amikor egy mennyiséget, illetve egy adott szakaszt úgy osztunk két részre, hogy a kisebbik rész úgy aránylik a nagyobbikhoz, mint a nagyobbik rész az egészhez. Az aranymetszés szerkesztése a szelő tételen alapszik. Legyen adott az EP=a szakasz.
Az E pontban állítsunk merőlegest EP-re, és mérjük rá az EP szakasz felét, kapjuk az O pontot.
Az O pont körül OE=PE/2=a/2 sugárral kört húzunk.
A szakasz másik (P) pontjából húzzunk egy szelőt a kör középpontján át. Ez metszi a kört az A (közelebbi) és B (távolabbi) pontokban.
A PA szakaszt P körül PE-re leforgatva kapjuk az M pontot.
Most azt fogjuk bizonyítani, hogy az így kapott M pont valóban a kívánt arányban osztja két részre az a=EP szakaszt.
A szelő és érintőszakaszok tétele. tétele szerint PE2=PA*PB.
Vezessük be az ábra szerinti jelöléseket: EM=p, MP=q, EP=a
A szerkesztésből következik, hogy AP=MP=q, AB=a, és PB=a+q.
A szelő tételt ezekkel a jelölésekkel átírva:
a2=q*(a+q)
A jobb oldalon felbontva a zárójelet:
a2=aq+q2
Az aq tagot a bal oldalra átvive:
a2-aq=q2
Itt a-t kiemelve:
a(a-q)=q2
Mivel a-q=p, ezért
ap=q2
Az a=p+q jelölést is felhasználva:
(p+q)p= q2
Ezt aránypárba átírva:
p:q=q:(p+q)
Tehát az M pont valóban az aranymetszésnek megfelelő arányban osztotta fel a PE=a szakaszt.
Az aranymetszési állandó.
A fenti arányból ki lehet számítani az aranymetszési állandót, hogy hányad része a nagyobbik (q) szakasz az egésznek.
Felhasználva, hogy p=a-q és p+q=a, írjuk fel még egyszer az aranymetszési arányt úgy, hogy a p változó ne szerepeljen benne:
(a-q):q=q:a
Ezt szorzat alakba írva: q2=a*(a-q), vagyis q2=a2-aq. (Lásd fenti levezetés 3. sora.)
Ezt q--ra, mint ismeretlenre rendezve (és a-t paraméternek tekintve):
q2+aq-a2=0
Ami q-ban másodfokú egyenlet.
A PHI lényege
Ezt a megoldóképlettel megoldva: adódik, ami azt jelenti, hogy az aranymetszés hosszabbik (q) szelete » 0,618034-szerese az eredeti "a" szakasznak.
Alkalmazása: Aranymetszéssel lehet szabályos öt és tízszöget szerkeszteni. Az r sugarú körbe írt szabályos 10 szög oldala a kör sugarának aranymetszéssel kapott hosszabbik szelete. Szabályos 10 szögből természetesen könnyű szabályos ötszöget szerkeszteni.
A szabályos ötszög átlói az aranymetszésnek megfelelő arányban metszik egymást, és az átlók a pentagramot, Pitagorasz csillagot határolják körül.
Íme a tipográfiában a szedéstükör mint példa
http://elte.prompt.hu/sites/default/files/tananyagok/VizualizacioATudomanykommunikacioban/ch06s03.html
A Fibonacci sorozat kapcsolatban van az aranymetszéssel, nevezetesen a sorozat egyre nagyobb sorszámú elemeinek hányadosa egy állandó számhoz, az aranymetszéssel kapott hosszabbik szakasznak a rövidebbikhez való arányához közelít. A kalligráfia és a tipográfia több ezer éves titkos művészete, nem csupán esztétika, inkább tudatmódisítás, a figyelem és a tekintet terelése. Épitészetben, könyvnyomtatásban, és a mindennapi életben is tettenérhető.
Aranymetszés a mûvészetekben, építészetben és a természetben
Már az ókorban is ismerték az aranymetszést, és elõszeretettel használták
Rájöttek ugyanis, hogy az aranymetszéssel osztott távolságok általában kellemes hatást keltenek a szemlélõben
Az ókori Egyiptomban még valószínûleg nem tudatosan alkalmazták a módszert, bár a gizai piramisokon felfedezhetõk az aranymetszésre jellemzõ arányok
Kairótól nem messze, Giza városában található a világ talán leghíresebb, legtöbbet tanulmányozott építménye, a Kheopsz-piramis
Hogyan épültek? – teszik fel sokan a magától értetõdõ kérdést
A Kheopsz piramis (i.e. 2500)
Az ókorban nem volt toronydaru, sõt, Egyiptomban a vasat sem ismerték.
E monstrumok elkészítése pedig egyes vélemények szerint még a mai technológiával is lehetetlen volna.
A Kheopsz-piramis eredetileg 146 méteres magasságával, 230×230 méteres alapterületével és 31 millió tonnás súlyával mindenesetre kemény kihívást jelentene bármely építésznek.
A Rhind-papírusz tekercsek betekintést nyújtanak a a kor matematikai eszköztárába
Az egyiptomiak ismerték a felszín- és térfogatszámítás alapvetõ módszereit, igen jó közelítéssel ki tudták számolni adott sugarú kör területét, használták a törtszámokat, és meg tudtak oldani egyszerûbb egyenleteket
Bizonyosan tisztában voltak a Pithagorasz-tétellel, ám a trigonometrikus függvények közül valószínûleg csak a kotangenst ismerték, egyes vélemények szerint azt sem
Mindazonáltal a piramisok helyzete és méretei meghökkentõen pontos számításokat sejtetnek maguk mögött
A Kheopsznak emléket állító építmény például pontosan a Baktérítõre épült, sarkai pedig jelentéktelen (3 ívperces) eltéréssel a négy égtáj felé mutatnak. A különbség az építés idején akár nulla is lehetett, mivel a földrajzi északi pólus – ahol a Föld forgástengelye metszi a felszínt – néhány évezred alatt akár több fokot is fordulhatott
További érdekesség, hogy a piramis négy sarkának tengerszint feletti magassága legfeljebb 1 cm-es eltérést mutat
Írásos emléket a piramisokról elsõként a történetírás atyjaként tisztelt görög utazó, Hérodotosz hagyott ránk
Lejegyezte az építmények varázslatos geometriai tulajdonságait, többek között, hogy a piramis magasságának négyzete megegyezik az egyes oldallapok területével
Elképzelése szerint nem rabszolgabrigád, hanem hozzávetõleg 100 000, a földeken éppen munkát nem találó paraszt végezte a munka dandárját
Egy részük az Arábiai-hegységbõl követ fejtett és juttatott el a Nílusig, a többiek pedig a folyótól a Líbiai-hegységig vonszolták a többtonnás tömböket
Tíz évbe tellett, amíg az építõ-anyag szállítására szolgáló út elkészült. Ezután az építkezés további húsz évet vett igénybe
A simára faragott kõtömböket lépcsõzetesen, mérleghintához hasonló emelõk alkalmazásával juttatták a rendeltetési helyükre
Hérodotosz történetének némiképp ellentmond, hogy a tudomány mai állása szerint az egyiptomiak sem a csigákat, sem az emelõket nem ismerték
Modernebb elméletek szerint Kheopsz kezdetben mindössze egy szerény csonkagúla-alapú, földszintes síremléket (masztabát) tervezett magának, és csak késõbb építtetett erre további szinteket
Megfigyelhetõ, hogy egy oldallap magassága (s) és az alapjának fele (b) között fennáll az s/b=(s+b)/s egyenlet, ami éppen az aranymetszés szabálya. A piramis magasságának négyzete az oldalak területével azonos Az ábra jelöléseivel: h2=s·b A Pitagorasz-tételbõl következõen h2=s2-b2 A két egyenletbõl s·b=s2-b2 Némi átrendezés után s2=b·(s+b), amibõl pedig mindkét oldal s·b-vel való osztása után megkapjuk az s/b=(s+b)/s összefüggést Rejtély persze még így is maradt bõven. Az épitmények jobban ellenállnak az időjárás viszontagságainak, ha a szabályt figyelembevéve építkezünk.
https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1311/1311.2855.pdf
https://ia601600.us.archive.org/23/items/divinaproportion00paci/divinaproportion00paci.pdf
https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1311/1311.2858.pdf
https://archive.org/details/bub_gb_Z2JLAQAAIAAJ/page/n11
Gyakori megjelenése miatt a geometriában már ókori matematikusok is tanulmányozták az aranymetszést. Bizonyíthatóan az ókori Egyiptomban is értették és használták ezt a törvényszerűséget. Az i. e. 2600 körül épült gízai Nagy-piramis arányaiban is felfedezhető az aranymetszés aránya. A piramis alapélének a fele (átlag 115,18 m) és oldallapjainak a magassága (kb. 186,42 m)[1] az aranymetszés szerint aránylik egymáshoz (0,03%-os eltéréssel, ami hibahatáron belülinek tekinthető). Az ókori görögök is ismerték ezt az arányt. Püthagorasz, Theodórosz és Eukleidész is foglalkozott vele. Az aranymetszés jelölése, a Φ (görög nagy fí betű) Pheidiász görög szobrász nevéből származik, aki gyakran alkalmazta munkájában. Az aranymetszés arányait tartalmazó formák máig nagy esztétikai értékkel bírnak, számos területen (például a tipográfiában vagy a fényképészetben) alkalmazzák őket. Két rész (a és b, a>b) az aranymetszés szerint aránylik egymáshoz, ha az egész (a+b) úgy aránylik a nagyobbik részhez (a), ahogy a nagyobbik rész (a) a kisebbik részhez (b):
Az E pontban állítsunk merőlegest EP-re, és mérjük rá az EP szakasz felét, kapjuk az O pontot.
Az O pont körül OE=PE/2=a/2 sugárral kört húzunk.
A szakasz másik (P) pontjából húzzunk egy szelőt a kör középpontján át. Ez metszi a kört az A (közelebbi) és B (távolabbi) pontokban.
A PA szakaszt P körül PE-re leforgatva kapjuk az M pontot.
Most azt fogjuk bizonyítani, hogy az így kapott M pont valóban a kívánt arányban osztja két részre az a=EP szakaszt.
A szelő és érintőszakaszok tétele. tétele szerint PE2=PA*PB.
Vezessük be az ábra szerinti jelöléseket: EM=p, MP=q, EP=a
A szerkesztésből következik, hogy AP=MP=q, AB=a, és PB=a+q.
A szelő tételt ezekkel a jelölésekkel átírva:
a2=q*(a+q)
A jobb oldalon felbontva a zárójelet:
a2=aq+q2
Az aq tagot a bal oldalra átvive:
a2-aq=q2
Itt a-t kiemelve:
a(a-q)=q2
Mivel a-q=p, ezért
ap=q2
Az a=p+q jelölést is felhasználva:
(p+q)p= q2
Ezt aránypárba átírva:
p:q=q:(p+q)
Tehát az M pont valóban az aranymetszésnek megfelelő arányban osztotta fel a PE=a szakaszt.
Az aranymetszési állandó.
A fenti arányból ki lehet számítani az aranymetszési állandót, hogy hányad része a nagyobbik (q) szakasz az egésznek.
Felhasználva, hogy p=a-q és p+q=a, írjuk fel még egyszer az aranymetszési arányt úgy, hogy a p változó ne szerepeljen benne:
(a-q):q=q:a
Ezt szorzat alakba írva: q2=a*(a-q), vagyis q2=a2-aq. (Lásd fenti levezetés 3. sora.)
Ezt q--ra, mint ismeretlenre rendezve (és a-t paraméternek tekintve):
q2+aq-a2=0
Ami q-ban másodfokú egyenlet.
A PHI lényege
Ezt a megoldóképlettel megoldva: adódik, ami azt jelenti, hogy az aranymetszés hosszabbik (q) szelete » 0,618034-szerese az eredeti "a" szakasznak.
Alkalmazása: Aranymetszéssel lehet szabályos öt és tízszöget szerkeszteni. Az r sugarú körbe írt szabályos 10 szög oldala a kör sugarának aranymetszéssel kapott hosszabbik szelete. Szabályos 10 szögből természetesen könnyű szabályos ötszöget szerkeszteni.
A szabályos ötszög átlói az aranymetszésnek megfelelő arányban metszik egymást, és az átlók a pentagramot, Pitagorasz csillagot határolják körül.
Íme a tipográfiában a szedéstükör mint példa
http://elte.prompt.hu/sites/default/files/tananyagok/VizualizacioATudomanykommunikacioban/ch06s03.html
A Fibonacci sorozat kapcsolatban van az aranymetszéssel, nevezetesen a sorozat egyre nagyobb sorszámú elemeinek hányadosa egy állandó számhoz, az aranymetszéssel kapott hosszabbik szakasznak a rövidebbikhez való arányához közelít. A kalligráfia és a tipográfia több ezer éves titkos művészete, nem csupán esztétika, inkább tudatmódisítás, a figyelem és a tekintet terelése. Épitészetben, könyvnyomtatásban, és a mindennapi életben is tettenérhető.
Aranymetszés a mûvészetekben, építészetben és a természetben
Már az ókorban is ismerték az aranymetszést, és elõszeretettel használták
Rájöttek ugyanis, hogy az aranymetszéssel osztott távolságok általában kellemes hatást keltenek a szemlélõben
Az ókori Egyiptomban még valószínûleg nem tudatosan alkalmazták a módszert, bár a gizai piramisokon felfedezhetõk az aranymetszésre jellemzõ arányok
Kairótól nem messze, Giza városában található a világ talán leghíresebb, legtöbbet tanulmányozott építménye, a Kheopsz-piramis
Hogyan épültek? – teszik fel sokan a magától értetõdõ kérdést
A Kheopsz piramis (i.e. 2500)
Az ókorban nem volt toronydaru, sõt, Egyiptomban a vasat sem ismerték.
E monstrumok elkészítése pedig egyes vélemények szerint még a mai technológiával is lehetetlen volna.
A Kheopsz-piramis eredetileg 146 méteres magasságával, 230×230 méteres alapterületével és 31 millió tonnás súlyával mindenesetre kemény kihívást jelentene bármely építésznek.
A Rhind-papírusz tekercsek betekintést nyújtanak a a kor matematikai eszköztárába
Az egyiptomiak ismerték a felszín- és térfogatszámítás alapvetõ módszereit, igen jó közelítéssel ki tudták számolni adott sugarú kör területét, használták a törtszámokat, és meg tudtak oldani egyszerûbb egyenleteket
Bizonyosan tisztában voltak a Pithagorasz-tétellel, ám a trigonometrikus függvények közül valószínûleg csak a kotangenst ismerték, egyes vélemények szerint azt sem
Mindazonáltal a piramisok helyzete és méretei meghökkentõen pontos számításokat sejtetnek maguk mögött
A Kheopsznak emléket állító építmény például pontosan a Baktérítõre épült, sarkai pedig jelentéktelen (3 ívperces) eltéréssel a négy égtáj felé mutatnak. A különbség az építés idején akár nulla is lehetett, mivel a földrajzi északi pólus – ahol a Föld forgástengelye metszi a felszínt – néhány évezred alatt akár több fokot is fordulhatott
További érdekesség, hogy a piramis négy sarkának tengerszint feletti magassága legfeljebb 1 cm-es eltérést mutat
Írásos emléket a piramisokról elsõként a történetírás atyjaként tisztelt görög utazó, Hérodotosz hagyott ránk
Lejegyezte az építmények varázslatos geometriai tulajdonságait, többek között, hogy a piramis magasságának négyzete megegyezik az egyes oldallapok területével
Elképzelése szerint nem rabszolgabrigád, hanem hozzávetõleg 100 000, a földeken éppen munkát nem találó paraszt végezte a munka dandárját
Egy részük az Arábiai-hegységbõl követ fejtett és juttatott el a Nílusig, a többiek pedig a folyótól a Líbiai-hegységig vonszolták a többtonnás tömböket
Tíz évbe tellett, amíg az építõ-anyag szállítására szolgáló út elkészült. Ezután az építkezés további húsz évet vett igénybe
A simára faragott kõtömböket lépcsõzetesen, mérleghintához hasonló emelõk alkalmazásával juttatták a rendeltetési helyükre
Hérodotosz történetének némiképp ellentmond, hogy a tudomány mai állása szerint az egyiptomiak sem a csigákat, sem az emelõket nem ismerték
Modernebb elméletek szerint Kheopsz kezdetben mindössze egy szerény csonkagúla-alapú, földszintes síremléket (masztabát) tervezett magának, és csak késõbb építtetett erre további szinteket
Megfigyelhetõ, hogy egy oldallap magassága (s) és az alapjának fele (b) között fennáll az s/b=(s+b)/s egyenlet, ami éppen az aranymetszés szabálya. A piramis magasságának négyzete az oldalak területével azonos Az ábra jelöléseivel: h2=s·b A Pitagorasz-tételbõl következõen h2=s2-b2 A két egyenletbõl s·b=s2-b2 Némi átrendezés után s2=b·(s+b), amibõl pedig mindkét oldal s·b-vel való osztása után megkapjuk az s/b=(s+b)/s összefüggést Rejtély persze még így is maradt bõven. Az épitmények jobban ellenállnak az időjárás viszontagságainak, ha a szabályt figyelembevéve építkezünk.
https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1311/1311.2855.pdf
https://ia601600.us.archive.org/23/items/divinaproportion00paci/divinaproportion00paci.pdf
https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1311/1311.2858.pdf
https://archive.org/details/bub_gb_Z2JLAQAAIAAJ/page/n11
Nincsenek megjegyzések:
Megjegyzés küldése