Theory of perfect numbers

The science of mathematics is a dense dark forest for 99% of people. Those who do not understand it should avoid this article of mine. This study is not for humanity, but only for the few mathematical smart-ass people who understand it. The subject of perfect numbers is truly fascinating and involves deep mathematical theories. The mathematical definitions and representations that I have mentioned summarize well the characteristics of perfect numbers and the role of Mersenne primes. Perfect numbers, such as 6, 28, 496, and 8128, all derive from their form, which is given by the expression 2^(p-1)(2^p - 1), where p is a prime number and (2^p - 1) is also a prime number. The perfect numbers known so far are all even, and the question of whether odd perfect numbers exist is still an open mathematical problem. Other groups of numbers are also distinguished based on the sum of their divisors. Numbers where the sum of their real divisors is less than the number are called incomplete numbers, and those where the sum of their real divisors is greater than the number are called abundant numbers. Pairs of numbers for which the sum of the divisors of one number is equal to the sum of the divisors of the other number (and vice versa) are called friendly numbers. Based on the above, it can be assumed that all even perfect numbers and all powers of two are practical numbers. All perfect numbers are harmonically divisible numbers, that is, positive integers whose divisors form a harmonic mean to give an integer. The great mystery of mathematics is whether there is an odd perfect number? Adding the digits of known multi-digit perfect numbers together, and then adding the digits of the result again, until we get a single digit, the final result will always be 1. If so, which one is it, if not to prove our hypothesis! If we assume that all perfect numbers are also Ore numbers (harmonically divisible), and according to a conjecture, odd Ore numbers do not exist either. The ancient mathematicians made further assumptions based on the observation of the first four numbers, but most of them turned out to be false. One such assumption is that the fifth perfect number is given by n = 11, since in the first four cases n takes the value of the first four prime numbers (2, 3, 5, 7), so it seemed “logical” that the fifth prime number would be the fifth perfect number. However, this is not true. Similarly, the following assumptions were proven false: The fifth perfect number has five digits, because the first four also consist of one, two, three and four digits respectively. The perfect numbers, arranged in order, end in 6 and 8 alternately. The fifth perfect number (33,550,336) consists of eight digits, overturning the second assumption, but it does indeed end in 6. However, the next, sixth perfect number (8,589,869,056) also ends in 6, so the third assumption is also false. (It is easy to show that every even perfect number ends in 6 or 8.) It can also be shown that if 2n − 1 is prime, then so is n, but the converse is not necessarily true. Primes that can be written in the form 2n − 1 are called Mersenne primes, after the 17th-century French monk Marin Mersenne. Nicomachus of Gerasenes (late 1st century AD) conjectured in his Arithmetica eisagoge (Introduction to Arithmetic) that Euclid's formula 2n−1(2n − 1) yields all even perfect numbers. This was proven more than 1,500 years later by Leonhard Euler. As a direct consequence, we find a perfect number for all Mersenne primes, and indeed, there is a one-to-one correspondence between the two groups of numbers. Currently, we know a finite number of Mersenne primes, and we do not know whether there are infinitely many such primes. Accordingly, it is not known whether there are infinitely many perfect numbers. But there cannot be too many: they form a series with zero density. I am probably alone here...The perfect numbers known so far are all even, and the question of whether odd perfect numbers exist has not been answered, it remains an open mathematical problem, like the question of the semantic web. Essay;

The expression you've provided, ( 2^{82,589,933} \times (2^{82,589,934} - 1) ), can be simplified.

First, notice that ( 2^{82,589,934} - 1 ) can be rewritten as:

[ 2^{82,589,934} - 1 = 2 \times 2^{82,589,933} - 1 ]

Thus, we can rewrite the entire expression as:

[ 2^{82,589,933} \times (2 \times 2^{82,589,933} - 1) ]

Expanding this gives:

[ 2^{82,589,933} \times (2 \times 2^{82,589,933}) - 2^{82,589,933} ]

This simplifies to:

[ 2^{82,589,934} \times 2^{82,589,933} - 2^{82,589,933} ]

However, looking at the values involved, ( 2^{82,589,934} - 1 ) is a Mersenne prime, specifically the largest known prime number as of my last knowledge update in October 2023. Therefore, ( 2^{82,589,933} \times (2^{82,589,934} - 1) ) is a representation of a special mathematical structure related to prime numbers rather than a numerical value that's straightforward to compute. If you need the exact numerical value, it would be extremely large, and it's more common to represent it in this factored form or to reference its properties rather than calculate it directly.

A matematika tudománya sűrű sötét erdő az embreke 99%-ának. Aki nem ért hozzá nagy ívben kerülje el ezt a cikkemet. Ez a tanulmány nem az emberiségnek szól, csak annyak a néhány matematikus okostojásnak aki megérti. A tökéletes számok megegyeznek az önmaguknál kisebb osztóik összegével, vagy, ami ezzel ekvivalens, hogy tökéletes szám minden olyan n egész, amelyre az osztóösszeg-függvény σ(n)=2n (azaz összes osztójának összege pont a szám 2-szerese), vagy a valódi osztók összege s(n)=n. A legkisebb tökéletes szám a 6, amelynek önmagánál kisebb osztói az 1, a 2 és a 3, ezek összege pedig 1 + 2 + 3 = 6. A második legkisebb tökéletes szám a 28, melynek osztói az 1, 2, 4, 7 és 14 számok. A soron következő két tökéletes szám a 496 és a 8128. A tökéletes szám felírható 2n−1(2n − 1) alakban:

n = 2-re: 21(22 − 1) = 6

n = 3-ra: 22(23 − 1) = 28

n = 5-re: 24(25 − 1) = 496

n = 7-re: 26(27 − 1) = 8128

Észrevéve, hogy a fent említett n-ekre 2n − 1 minden esetben prímszám, Eukleidész bebizonyította, hogy minden olyan esetben, amikor 2n − 1 prím, 2n−1(2n − 1) tökéletes szám.

6, 28,496, 8128, 33 550 336, stb

A tökéletes szám a 8,589,869,056 után a 2^p * (2^(p+1) - 1) formában van, ahol p egy prímszám. Az eddigi ismert tökéletes számok alapján a következő öt tökéletes szám:

2^13 * (2^14 - 1) = 2^13 * 16383 = 2^13 * 16383 = 8,589,869,056

2^17 * (2^18 - 1) = 2^17 * 262143 = 2^17 * 262143 = 2^17 * 262143 = 2^17 * 262143 = 2^17 * 262143 = 2^17 * 262143 = 2^17 * 262143 = 2^17 * 262143 = 2^17 * 262143 = 2^17 * 262143 = 2^17 * 262143 = 2^17 * 262143 = 2^17 * 262143 = 2^17 * 262143 = 2^17 * 262143 = 2^17 * 262143 = 2^17 * 262143 = 2^17 * 262143 = 2^17 * 262143 = 2^17 * 262143 = 2^17 * 262143 = 2^17 * 262143 = 2^17 * 262143

A következő tökéletes számok a következők:

2^19 * (2^20 - 1) = 2^19 * 1048575 = 2^19 * 1048575

2^23 * (2^24 - 1) = 2^23 * 16777215 = 2^23 * 16777215

2^29 * (2^30 - 1) = 2^29 * 1073741823 = 2^29 * 1073741823

2^31 * (2^32 - 1) = 2^31 * 4294967295 = 2^31 * 4294967295

A tökéletes számok olyan pozitív egész számok, amelyek egyenlőek a megfelelő osztóik összegével, beleértve az 1-et, de kizárva magát a számot.

Az első néhány tökéletes szám a következő:

6

28

496

8128

33550336

8589869056

137438691328

2305843009213693952

2,658,455,991,569,831,744, 654,692,615,953,842,176

191561942608236107294793378084303638130997321548169216

2^31 × (2^32 - 1) (ez az 9. tökéletes szám) 2,658,455,991,569,831,744,000,000

2^127 × (2^128 - 1) 2,690,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

2^521 × (2^522 - 1)

2^607 × (2^608 - 1)

2^127 × (2^128 - 1) (Ez a szám nem számítható ki explicit módon, mivel a 128-as szám nagyobb, mint a 10^38)

2^521 × (2^522 - 1)

2^607 × (2^608 - 1)

2^1,216 × (2^1,217 - 1)

2^1,064,000 × (2^1,064,001 - 1)

2^2,305,843,008,139,952,128 × (2^2,305,843,008,139,952,129 - 1)

2^2,254,848 × (2^2,254,849 - 1)

2^1,088,000 × (2^1,088,001 - 1)

2^1,890,000 × (2^1,890,001 - 1)

2^1,050,000 × (2^1,050,001 - 1)

2^1,000,000 × (2^1,000,001 - 1)

2^2,000,000 × (2^2,000,001 - 1)

 A további tökéletes számok elég hosszúak, és a számítások miatt sok esetben csak a legnagyobb számítógépekkel lehetne előállítani őket.

A 2^31 * (2^32 - 1) kifejezés az 4294967295-öt adja, ami a 32. Mersenne-prím a 2^31-gyel szorozva tökéletes számot ad: 2^31 * 4294967295 = 9223372036854775808.

Az ezt követő 10 tökéletes szám a következőképpen alakul:

2^5 × (2^6 - 1) = 2^5 × 63 = 2016

2^7 × (2^8 - 1) = 2^7 × 255 = 5184

2^11 × (2^12 - 1) = 2^11 × 4095 = 8388608

2^13 × (2^14 - 1) = 2^13 × 16383 = 174762240

2^17 × (2^18 - 1) = 2^17 × 65535 = 2147450880

2^19 × (2^20 - 1) = 2^19 × 262143 = 70368744177664

2^23 × (2^24 - 1) = 2^23 × 1048575 = 155051520

2^29 × (2^30 - 1) = 2^29 × 1073741823 = 602193148928

2^31 × (2^32 - 1) = 2^31 × 4294967295 = 9223372036854775808

2^37 × (2^38 - 1) = 2^37 × 274877906943 = 1152921504606846976

Az eddig felfedezett tökéletes számok mind páros számok, és a formájuk a következő képlettel adható meg:

[ P = 2^{p-1} \times (2^p - 1) ]  ahol ( 2^p - 1 ) egy prímszám (más néven Mersenne-prím).

Íme egy tökéletes szám logikai levezése:

[ 2^{61} \times (2^{62} - 1) = 191561942608236107294793378084303638130997321548169216 ]

A következő tökéletes számok, amelyeket eddig felfedeztek, a következők:

2^2 × (2^3 - 1) = 6

2^4 × (2^5 - 1) = 28

2^6 × (2^7 - 1) = 496

2^8 × (2^9 - 1) = 8128

2^{12} × (2^{13} - 1) = 33550336

2^{16} × (2^{17} - 1) = 8589869056

2^{18} × (2^{19} - 1) = 137438691328

2^{20} × (2^{21} - 1) = 2199023255551

2^{28} × (2^{29} - 1) = 144115188075855872

2^{30} × (2^{31} - 1) = 2305843009213693952

2^{31} × (2^{32} - 1) = 263130836933693530167218012160000000

2^82,589,933 × (2^82,589,934 − 1) mivel egyszerűsíthető így

Az (2^{82,589,933} \times (2^{82,589,934} - 1)) kifejezés egyszerűsíthető.

Először is vegyük észre, hogy (2^{82,589,934} - 1) kifejezés felírható így:

[ 2^{82,589,934} - 1 = 2 \times 2^{82,589,933} - 1 ]

Ezért a kifejezést átírhatjuk:

[ 2^{82,589,933} \times (2^{82,589,934} - 1) = 2^{82,589,933} \times (2 \times 2^{82,589,933} - 1) ]

Most szorozzuk meg:

[ = 2^{82,589,933} \times (2 \times 2^{82,589,933}) - 2^{82,589,933} ]

[ = 2^{82,589,933} \times 2 \times 2^{82,589,933} - 2^{82,589,933} ]

[ = 2^{82,589,933} \times 2^{1 + 82,589,933} - 2^{82,589,933} ]

[ = 2^{82,589,933} \times 2^{82,589,934} - 2^{82,589,933} ]

Most egyszerűsíthetjük ezt:

[ = 2^{82,589,933 + 82,589,934} - 2^{82,589,933} ]

[ = 2^{165,179,867} - 2^{82,589,933} ]

Tehát a kifejezés végső értéke:

[ 2^{165,179,867} - 2^{82,589,933} ]

a következő lesz a 2^{88} \times (2^{89} - 1) [ 2^{88} \times (2^{89} - 1) \approx 2^{88} \times 618475290560 = 1.818989403245 \ folytköv.

times 10^{16} ] = 6192441282999999999999999999999999999999999999999999999

a következő péda; A 2658455991569831744654692615953842176 tökéletes szám, amely az (p=61) esetén keletkezik, a következő tökéletes szám a következő (p=89) esetén keletkezik, ami a következő tökéletes számot adja:

[ 2^{88} \times (2^{89} - 1) = 2^{88} \times

Ezért a következő tökéletes szám a 2658455991569831744654692615953842176 után a 2^{88} \times (2^{89} - 1) lesz.

Nézzünk egy ellenőrzést;

Az általános képlet a tökéletes számok előállítására az, hogy ha ( p ) egy prímszám, és ( 2^{p-1}(2^p - 1) ) formában van, ahol ( 2^p - 1 ) is prímszám (ezeket Mersenne-prímeknek hívják), akkor a szám tökéletes.

Nézzük meg a kifejezést:

[ 2^{30} \times (2^{31} - 1) ]

Itt ( p = 31 ), amely egy prímszám, és ( 2^{31} - 1 ) is egy Mersenne-prím, mivel 31 is prímszám.

Ezért a kifejezés a következőképpen néz ki:

[ 2^{30} \times (2^{31} - 1) = 2^{30} \times (Mersenne\ prime) ]

Ez a kifejezés megfelel a tökéletes számok képletének, tehát:

[ 2^{30} \times (2^{31} - 1) = 2^{30} \times 2147483647 ]

Ezért az eredmény valóban egy tökéletes szám. Igen, a kifejezés egy tökéletes számot ad.

A következő tökéletes szám; ami Mersenne-prímre épül:

2^{31} × (2^{32} - 1) = 263130836933693530167218012160000000

A kérdésedben megadott szám, 191561942608236107294793378084303638130997321548169216, egy nagyon nagy szám, és nem egy tökéletes szám. A következő tökéletes szám 2^p × (2^(p+1) - 1) formában van, ahol 2^(p+1) - 1 egy prímszám.

A 191561942608236107294793378084303638130997321548169216 után a következő tökéletes szám a 2^61 × (2^62 - 1), ami 2^61 × 4611686018427387903 = 2658455991569831744654692615953842176, tehát a következő tökéletes szám:

2658455991569831744654692615953842176.

A 2658455991569831744654692615953842176 szám az első 33. tökéletes szám, amely a formájú (2^{p-1} \times (2^p - 1)) képlettel van kifejezve, ahol (p) egy prímszám, és (2^p - 1) is prímszám. Az ezt követő tökéletes számot a következő (p) értékkel, amely 31 a következő prímszám, lehet kiszámítani. A következő tökéletes szám tehát a 35. tökéletes szám, amely a (p = 37) esetén van.

A 35. tökéletes szám:

[ 2^{36} \times (2^{37} - 1) = 2^{36} \times 137438691328 ]

Ezért a 2658455991569831744654692615953842176 után következő tökéletes szám:

[ 2^{36} \times 137438691328 ]

Ez a szám nagyon nagy, és a pontos értéke rendkívül bonyolult lenne kiírni, de az eljárás pontos. A következő tökéletes számok kiszámítása is hasonló módon történik a megfelelő (p) értékekkel.

A következő tökéletes szám 2^{61} × (2^{62} - 1) után következik...

A pontos számítások és a következő tökéletes számok meghatározása, valamint a prímszámok figyelembevétele szükséges a további tökéletes számok azonosításához.

Bírod még követni? Hol tartunk most?

A legnagyobb ismert tökéletes szám az 2^82,589,933 × (2^82,589,934 − 1), amely körülbelül 49,724,095 számjegyből áll, remélem nem kell leírnom senkinek...

Mersenne-prím (2^43 - 1)

Az ókori matematikusok az első négy szám megfigyelése alapján további feltételezésekkel éltek, ám ezek zöme hamisnak bizonyult. Az egyik ilyen feltételezés szerint az ötödik tökéletes szám az n = 11 értékre adódik, mivel az első négy esetben n az első négy prímszám (2, 3, 5, 7) értékét veszi fel, „logikusnak” tűnt tehát, hogy az ötödik prímszám az ötödik tökéletes számot adja. Ez azonban nem igaz. Hasonló módon hamisnak bizonyultak a következő feltételezések: Az ötödik tökéletes számnak öt számjegye van, mert az első négy is rendre egy, kettő, három ill. négy jegyből áll. A tökéletes számok sorba rendezve felváltva 6-ra és 8-ra végződnek. Az ötödik tökéletes szám (33 550 336) nyolc számjegyből áll, megdöntve a második feltételezést, viszont valóban 6-ra végződik. Azonban a következő, hatodik tökéletes szám (8 589 869 056) is 6-ra végződik, tehát a harmadik feltételezés is hamis. (Az, hogy minden páros tökéletes szám 6-ra vagy 8-ra végződik, könnyen megmutatható.) Az is megmutatható, hogy ha 2n − 1 prím, akkor n is az, de fordítva nem feltétlenül igaz. Azokat a prímeket, amelyek felírhatók 2n − 1 alakban, Mersenne-prímeknek nevezzük a 17. században élt francia szerzetes, Marin Mersenne után. Nikomakhosz Geraszénosz (Kr. u. I. szd. vége) Arithmétikhé eiszagogé (Bevezetés az aritmetikába) c. művében megfogalmazta a sejtést, hogy Eukleidész képlete, 2n−1(2n − 1) az összes páros tökéletes számot kiadja. Ezt több mint másfél ezer évvel utána Leonhard Euler bizonyította be. Ennek egyenes következménye, hogy az összes Mersenne-prímhez találunk tökéletes számot, sőt, a két számcsoport között egy-az-egyhez megfeleltetés létezik. Jelenleg véges sok Mersenne-prímet ismerünk, és azt sem tudjuk, hogy vajon végtelen sok ilyen prím van-e. Ennek megfelelően az sem ismert, hogy a tökéletes számok végtelen sokan vannak-e. De nem lehetnek túl sokan: nulla sűrűségű sorozatot alkotnak. A GIMPS elosztott számítási projekt megmutatta, hogy az első 44 tökéletes szám a 2p−1(2p − 1) a következő p értékekre

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657 (A000043 sorozat az OEIS-ben).

Öt ennél nagyobb tökéletes számot is sikerült találni, ezeknél p = 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, illetve 74207281, de lehetnek még más p értékek ezek közelében.

A tökéletes számok osztóinak (az 1-et és saját magukat is beleszámítva) reciprok értékeit összeadva mindig 2 lesz az eredmény. Pl. 28 esetében:

Tehát 1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2

Az ismert többjegyű tökéletes számok számjegyeit egymással összeadva, majd az eredmény számjegyeit újra összeadva, mindaddig amíg egy számjegyet kapunk, mindig 1 lesz a végeredmény. Vagyis a 6-ot leszámítva mindegyik kilences maradéka 1. Pl. a 496 esetében: 4+9+6=19, 1+9=10, 1+0=1

A tökéletes számok (a 6-ot kivéve) a hatos számrendszerben két 4-esre végződnek.

A 2p−1(2p − 1) alak mellett minden tökéletes szám egyben a (2p − 1)-edik háromszögszám (és így megegyezik az egész számok összegével 1-től 2p − 1-ig) és a 2p−1-edik hatszögszám. Továbbá, minden páros tökéletes szám a hat kivételével a ((2p + 1)/3)-adik középpontos kilencszögszám és megegyezik az első 2(p−1)/2 páratlan köbszám összegével.

A 2p−1(2p − 1) alakból következően minden páros tökéletes szám bináris alakban úgy néz ki, hogy p 1-est p − 1 nulla követ:

610 = 1102

2810 = 111002

49610 = 1111100002

812810 = 11111110000002

3355033610 = 11111111111110000000000002.

Ezért minden tökéletes szám Hamming-súlya prímszám(wd).

Az eddigiek alapján feltételezhető hogy minden páros tökéletes szám és minden kettőhatvány is praktikus szám. Valamennyi tökéletes szám osztóharmonikus szám, tehát olyan pozitív egész szám, melynek osztóiból harmonikus közepet képezve egész számot kapunk. A matematika nagy rejtélye, hogy létezik-e páratlan tökéletes szám?

Ha igen melyik az, ha nem bizonyítsuk be a hipotézisünket! Ha feltételezzük, hogy minden tökéletes szám Ore-szám (osztóharmonikus) is, és egy sejtés szerint páratlan Ore-számok szintén nem léteznek.

Bármely páratlan N tökéletes számnak a következő feltételeknek kell eleget tennie:

N > 101500.[5]

N nem osztható 105-tel.[6]

N ≡ 1 (mod 12) vagy N ≡ 117 (mod 468) vagy N ≡ 81 (mod 324).[7]

q, p1, ..., pk különböző prímszámok (Euler).

q ≡ α ≡ 1 (mod 4) (Euler).

N legkisebb prímtényezője kisebb mint (2k + 8) / 3.

Vagy qα > 1062, vagy p j2ej > 1062 néhány j-re.

N < 24k+1.

N legnagyobb prímtényezője nagyobb mint 108.

A második legnagyobb prímtényező nagyobb mint 104, a harmadik legnagyobb pedig nagyobb mint 100.

N-nek legalább 101 prímtényezője van, ezek közül legalább 10 különböző. Ha a 3 nincs N prímtényezői között, akkor N-nek legalább 12 különböző prímtényezője kell legyen.

Barátságos számok:

Az osztók összege alapján más számcsoportokat is megkülönböztetünk. Azokat a számokat, ahol a valódi osztók összege kisebb a számnál, hiányos számoknak nevezzük, amelyeknél pedig nagyobb, azokat bővelkedő számoknak. Azokat a számpárokat, amelyekre igaz, hogy az egyik szám osztóinak összege a másik számmal egyenlő (és fordítva) barátságos számoknak hívjuk.

Sok matematikai zseni, inkább kaszinózik mint tanítson többet hoz a konyhára...

Összefoglalás

A tökéletes számok témája valóban lenyűgöző és mély matematikai elméleteket ölel fel. A matematikai definíciók és az ábrázolások, amelyeket megemlítettem, jól összefoglalják a tökéletes számok jellemzőit és a Mersenne-prímek szerepét. A tökéletes számok, mint például a 6, 28, 496 és 8128, mind a formájukból származnak, amely a 2^(p-1)(2^p - 1) kifejezéssel van megadva, ahol p egy prímszám, és (2^p - 1) is prímszám. Az eddig ismert tökéletes számok mind párosak, és a kérdés, hogy léteznek-e páratlan tökéletes számok, továbbra is nyitott matematikai probléma.

A legnagyobb ismert tökéletes szám, amely a 2^82,589,933 × (2^82,589,934 - 1) formában van, valóban hatalmas, és a számjegyeinek pontos kiszámítása vagy megjelenítése gyakorlatilag lehetetlen a mai technológia mellett. Az ismereteink szerint a Mersenne-prímek felfedezése és a tökéletes számok keresése egy folyamatos feladat a matematikában, és a GIMPS projekt (Great Internet Mersenne Prime Search) jelentős szerepet játszik ebben a folyamatban.

A páratlan tökéletes számok létezése körüli spekulációk és feltételezések, mint például az Ore-számokkal kapcsolatos elméletek, izgalmas és mély matematikai kérdéseket vetnek fel. A barátságos számok definíciója és azok tulajdonságai szintén érdekes területet képeznek a számelméletben.

6

28

496

8128

33,550,336

8,589,869,056

137,438,691,328

2,305,843,008,139,952,128

2,658,455,991,569,831,744,102,565,111,648

2,251,797,978,185,889,864,064,858,811,675,915,520

2,402,934,108,078,288,978,312,218,794,115,683,247,811,840

2,539,658,308,024,643,440,052,797,576,069,679,824,135,122,176

2,530,029,072,784,158,605,254,274,998,717,870,036,063,661,734,162,560

2,654,643,554,919,313,712,447,787,297,516,520,250,688,761,075,262,815,616

2,657,884,512,152,338,200,292,302,865,750,903,297,080,267,899,768,780,418,560

2,659,063,030,420,646,617,788,489,578,108,120,893,994,576,740,622,476,576,268,160

2,660,322,465,538,250,718,792,639,209,586,734,944,873,981,287,943,695,200,266,688,000

2,660,956,812,834,779,640,694,025,620,576,716,879,601,726,758,616,816,718,000,000,000

2,661,112,282,190,411,540,783,249,970,424,578,848,790,593,213,185,271,000,000,000,000

2,661,145,717,560,062,131,036,377,667,146,309,700,234,040,000,000,000,000,000,000,000

2,661,145,717,560,062,131,036,377,667,146,309,700,234,040,000,000,000,000,000,000,000

2,661,145,717,560,062,131,036,377,667,146,309,700,234,040,000,000,000,000,000,000,000

2,661,145,717,560,062,131,036,377,667,146,309,700,234,040,000,000,000,000,000,000,000

2,661,145,717,560,062,131,036,377,667,146,309,700,234,040,000,000,000,000,000,000,000

2,661,145,717,560,062,131,036,377,667,146,309,700,234,040,000,000,000,000,000,000,000

2,661,145,717,560,062,131,036,377,667,146,309,700,234,040,000,000,000,000,000,000,000

2,661,145,717,560,062,131,036,377,667,146,309,700,234,040,000,000,000,000,000,000,000

2,661,145,717,560,062,131,036,377,667,146,309,700,234,040,000,000,000,000,000,000,000

2,661,145,717,560,062,131,036,377,667,146,309,700,234,040,000,000,000,000,000,000,000

2,661,145,717,560,062,131,036,377,667,146,309,700,234,040,000,000,000,000,000,000,000

erre való az AI és a szuperszámítógépek, 

vagy így is felírható;

6

28

496

8128

33,550,336

8,589,869,056

137,438,691,328

2,305,843,008,139,952,128

2^31 × (2^32 - 1)

2^61 × (2^62 - 1)

2^89 × (2^90 - 1)

2^107 × (2^108 - 1)

2^127 × (2^128 - 1)

2^521 × (2^522 - 1)

2^607 × (2^608 - 1)

2^1279 × (2^1280 - 1)

2^2203 × (2^2204 - 1)

2^2281 × (2^2282 - 1)

2^3217 × (2^3218 - 1)

2^4253 × (2^4254 - 1)

2^4423 × (2^4424 - 1)

2^9689 × (2^9690 - 1)

2^9941 × (2^9942 - 1)

2^11213 × (2^11214 - 1)

2^19937 × (2^19938 - 1)

2^21701 × (2^21702 - 1)

2^23209 × (2^23210 - 1)

2^44497 × (2^44498 - 1)

2^86243 × (2^86244 - 1)

2^1257787 × (2^1257788 - 1)

2^2203 × (2^2204 - 1)

2^2281 × (2^2282 - 1)

2^3217 × (2^3218 - 1)

2^4253 × (2^4254 - 1)

2^4423 × (2^4424 - 1)

2^9689 × (2^9690 - 1)

2^9941 × (2^9942 - 1)

2^11213 × (2^11214 - 1)

2^19937 × (2^19938 - 1)

2^21701 × (2^21702 - 1)

2^23209 × (2^23210 - 1)

2^44497 × (2^44498 - 1)

2^86243 × (2^86244 - 1)

2^1257787 × (2^1257788 - 1)

2^2203 × (2^2204 - 1)

2^2281 × (2^2282 - 1)

2^3217 × (2^3218 - 1)

2^4253 × (2^4254 - 1)

2^4423 × (2^4424 - 1)

(2^{82,589,934} - 1)

(2^{82,589,934} - 2)

(2^{82,589,934} - 3)

(2^{82,589,934} - 4)

(2^{82,589,934} - 5)

(2^{82,589,934} - 6)

(2^{82,589,934} - 7)

(2^{82,589,934} - 8)

Az utolsó ismert tökéletes szám; 2^{82,589,933} \times (2^{82,589,934} - 1

Valószínű hogy itt már egyedül maradtam...

Az eddig ismert tökéletes számok mind párosak, és a kérdés, hogy léteznek-e páratlan tökéletes számok, nem kaptam rá választ, továbbra is nyitott matematikai probléma, mint a szematikus web kérdése.