\(G_{\mu \nu }\) (Einstein-tenzor): A téridő görbületét határozza meg egy adott pontban. Két részből tevődik össze: a Ricci-görbületi tenzorból (\(R_{\mu \nu }\)) és a skalárgörbületből (R).
\(g_{\mu \nu }\) (Metrikus tenzor): A téridő geometriáját leíró alapvető matematikai objektum, amely megadja a pontok közötti távolságokat és az idő telését.
Λ (Kozmológiai állandó): Einstein eredetileg azért vezette be, hogy egy statikus (nem táguló és nem összehúzódó) univerzumot kapjon. Később elhagyta, de a modern kozmológiában újra kulcsfontosságúvá vált: ez képviseli a sötét energiát, amely a világegyetem gyorsuló tágulásáért felelős.
\(T_{\mu \nu }\) (Energia-lendület tenzor): Az anyag, az energia, a nyomás és a nyírófeszültség eloszlását és áramlását írja le a téridőben.
G: A Newton-féle univerzális gravitációs állandó.
c: A vákuumbeli fénysebesség.
---------------------------
---------------------------
import numpy as np
# Fizikai állandók
G = 6.67430e-11 # Gravitációs állandó (m^3 kg^-1 s^-2)
c = 299792458 # Fénysebesség (m/s)
# A Föld adatai
M_earth = 5.972e24 # Föld tömege (kg)
R_earth = 6371000 # Föld átlagos sugara (m)
def schwarzschild_radius(mass):
"""Kiszámítja a Schwarzschild-sugarat (eseményhorizontot) az adott tömegre."""
return (2 * G * mass) / (c**2)
def time_dilation_factor(r, r_s):
"""
Kiszámítja az időkésési faktort (g_00 komponens gyöke).
Megmutatja, milyen ütemben telik az idő a Föld felszínén (r)
egy távoli szemlélőhöz képest.
"""
if r <= r_s:
raise ValueError("A sugár a Schwarzschild-sugáron belül van!")
return np.sqrt(1 - (r_s / r))
# Kiszámítás
r_s_earth = schwarzschild_radius(M_earth)
time_factor = time_dilation_factor(R_earth, r_s_earth)
# Időkülönbség egy év alatt (másodpercben)
seconds_in_a_year = 365.25 * 24 * 60 * 60
time_lost_seconds = seconds_in_a_year * (1 - time_factor)
# Eredmények kiíratása
print(f"--- Földi téridő-görbület (Schwarzschild-metrika) ---")
print(f"A Föld Schwarzschild-sugara: {r_s_earth * 1000:.4f} mm")
print(f"Időkésési faktor a felszínen: {time_factor:.15f}")
print(f"Egy Földön töltött év alatt egy távoli órához képest")
print(f"ennyivel öregszünk lassabban: {time_lost_seconds:.6f} másodperc")
---------
Eredmény
--- Földi téridő-görbület (Schwarzschild-metrika) ---
A Föld Schwarzschild-sugara: 8.8698 mm
Időkésési faktor a felszínen: 0.999999999303892
Egy Földön töltött év alatt egy távoli órához képest
ennyivel öregszünk lassabban: 0.021967 másodperc
Magyarázat;
A Schwarzschild-sugár (\(r_{s}\)): Meghatározza azt a kritikus sugarat, amivé ha a Földet összenyomnánk, fekete lyukká válna. Ez a Föld esetében mindössze kb. 8,87 milliméter.
Metrikus tenzor (\(g_{00}\)): Az Einstein-féle mezőegyenletek földi megoldásából kiszámítja az időkomponenst.
Gravitációs időkésés: Megmutatja, hogy a Föld tömege által okozott téridőgörbület miatt a felszínen egy kicsit lassabban telik az idő. Ez a hatás kicsi (kb. 0,022 másodperc évente), de a GPS-műholdak működésénél már kötelezően korrigálni kell!
A fenti tenzoregyenlet négy dimenzióban (3 tér- és 1 időváltozó esetén) 16 skaláregyenletet jelent. Az Einstein-egyenletek szimmetriája miatt ezek közül csak 10 független. Ez a 10 független egyenlet egy nemlineáris parciális differenciálegyenlet-rendszert alkot, melynek megoldása szolgáltatja a gravitáció modern fizikáját.
Nincsenek megjegyzések:
Megjegyzés küldése