Piezo kristály

A piezoelektromosság olyan fizikai jelenség, melynek során bizonyos anyagokon nyomás hatására elektromos töltésszétválasztás történik. A mechanikai nyomás elektromos feszültséget eredményez. Visszafelé is működik, tehát elektromos feszültség hatására megváltozhat az alakja a kristálynak, amit  inverz piezoelektromosságnak nevezzük. A jelenség tehát megfordítható, ugyanabban az anyagban oda-vissza működik. A szimmetriaközépponttal nem rendelkező szerkezetű kristályos anyagokban a deformáció (rugalmas alakváltozás) hatására elektromos dipólusok keletkeznek, mert a pozitív és negatív töltésközéppontok különválnak, vagy a már meglévő dipólusok hossza megváltozik. A kristály szemben álló lapjain – a mechanikai feszültség keltette dipólusok rendeződése miatt – ellentétes előjelű elektromos töltések halmozódnak fel, ami elektromos feszültséget hoz létre. A deformáló erő irányváltozásakor az előjel felcserélődik, az elektromos tér és a feszültség is előjelet vált. A fordított piezoelektromos jelenség akkor lép fel, ha a piezoelektromos kristály valamelyik kristálytengelyével egybeeső irányú elektromos térbe kerül. A térerősség irányától függően az elektromos tér hatására, annak irányától függően összehúzódik vagy megnyúlik. A méretváltozás az elektromos tér erősségének nagyságával arányos és irányfüggő. (A középpontos szimmetriával rendelkező szerkezetű anyagokban létrejövő elektrostrikció jelensége ettől különbözik, ott a méret megváltozása a térerősség négyzetével arányos, és független az elektromos tér irányától. Bizonyos piezoelektromos anyagok (pl. turmalin) hőmérséklet-változás hatására deformálódnak, ami ellentétes előjelű elektromos töltéseket hoz létre a megfelelő határfelületeken, ez a jelenség a piroelektromosság. A piroelektromosság egy olyan fizikai jelenség, melynek során bizonyos kristályok határfelületein a hőmérséklet megváltozásakor ellentétes előjelű, un. polarizációs töltések jelennek meg. A hőmérséklet-változás a töltésszétválasztás révén elektromos feszültséget hoz létre.Az alkalmazásokban leggyakrabban előforduló piezojelenséget mutató kristály a hatszöges rendszerben kristályosodó kvarc (SiO2), amelynek rácspontjaiban felváltva helyezkednek el a pozitív és negatív ionok. Piezoelektromos tulajdonságot mutat valamennyi ferroelektromos anyag és bizonyos kerámiák is. Például az ólom-cirkonát-titanát (PZT) már a méretének 0,1%-os megváltozása révén mérhető piezoelektromosságot produkál.Egy piezoelektromos anyagot két fémlap között összenyomva a fémlemezek feltöltődnek, és ezzel elektromos szikrát lehet gerjeszteni (öngyújtó, gázgyújtó). Ezt a tulajdonságot kihasználva készítenek apró generátorokat is. Az inverz piezoelektromos jelenség alapján állítanak elő nagyon stabil frekvenciájú órajeleket. A rákapcsolt váltakozó feszültségnek köszönhetően a kristály rezgőmozgást végez. Rezonancia révén a saját frekvenciájával megegyező frekvenciájú elektromos jellel stabil mechanikai rezgés állítható elő. Ezt használják ki a kvarcóráknál. Órajel-generátorként kerámiarezonátorokat is használnak. Bár a kvarckristály frekvenciastabilitása nagyságrenddel nagyobb a kerámiáéhoz képest, de az utóbbi sokkal olcsóbb elérhetősége több alkalmazásnál is előny lehet. Alkalmas frekvenciájú elektromos jelekkel ultrahangtartományba eső mechanikai rezgések is előállíthatók. Fordítva is, piezoelektromos tulajdonságú anyagokkal UH-frekvenciájú hangok detektálhatók. A jelenség tehát mind az UH előállítására, mind az érzékelésére alkalmas eszközök működésében jelentős szerepet játszik. Jelentős a piezojelenség alkalmazása minden olyan tudományos berendezésben, ahol nagyon kicsiny elmozdulásokat kell mérni, vagy elektromos jelekkel kontrolláltan előidézni. Piezoelektromos transzlátorokat alkalmaznak, amikor a mintát vagy bármilyen optikai elemet nanométeres nagyságrendű elmozdulásokkal kell mozgatni, például nagy felbontású pásztázó mikroszkópokban (atomerő-mikroszkóp, konfokális pásztázó mikroszkóp, elektronmikroszkóp, közeli mező optikai mikroszkóp) vagy lézercsipeszben. Jelentős a jelenség katonai hasznosítása. Már az első világháború utáni években használták a szonár megalkotásához. Ugyancsak alkalmazzák lövedékek gyújtóiban. Ezt az elvet alkalmazzák a ma használatos dízelinjektorok. A piezojelenség gyorsaságának köszönhetően az ilyen injektorok mozgása nagyon gyorsan, pontosan vezérelhető. Nagyrészt ennek köszönhető, hogy a modern dízelmotorok mind tisztaságban, mind teljesítményben felvehetik a versenyt benzines társaikkal, miközben fogyasztásuk kisebb. nanométerben lehet kalibrálni vele, például az injektorok esetén preciziós szonár vagy Mechanikai deformáció, például nyomás vagy ütés hatására bizonyos kristályokban a különböző előjelű töltéscentrumok szétválnak, és a kristály meghatározott lapjai között elektromos feszültség alakul ki. Egyes kristályok, pl.: kvarc (SiO2), Seignette-só, turmalin (boroszilikátok) megfelelő irányú deformációja elektromos potenciálkülönbséget eredményez, azaz a kristály polarizálódikA kristályok deformációja során a kationok és anionok vagy a dipólusok egy kicsit aszimmetrikusan eltolódnak és dipólusok keletkeznek. Ez eredményezi a felületen már kimutatható polarizációs töltést. (A kristály ionjai ugyan nem mozdulhatnak el, de a fémfóliában a megosztás révén létrejött töltések már szabadon mozoghatnak.) A jelenség számos szervetlen kristályos anyagban megfigyelhető. Sok fontos alkalmazási területe ismert a piezoelektromos jelenségnek. HAsználható feszültség és nyomásmérésre, mechanikai rezgések érzékelése, ultrahangforrások és bakelit hanglemezek hangszedőjeként, de kristály-mikrofonokban, tintasugaras nyomtatási technológiában, piezoelektromos szikragyújtók (öngyújtó, gázgyújtó) piezo hangszórókat használnak ébresztőórákban, egyéb elektronikus eszközökben és házimozi rendszerek magassugárzójaként. ellenállnak a túlterhelésnek, nagyfrekvenciás teljesítményük növelhető így speciális körülmények között is alkalmazható. Tengerben sonárként, a szilárd kialakítás miatt ellenáll a tengervíznek. Hidrofonokban is használják. Új hidrofon technológia a búvárok által használt ultrahangos képalkotás. Piezo fémezett film fólia koaxkábelben. akusztikus gitárok hangjának erősítésére, kutyariasztóban csipogók riasztórendszerekben, ahol a fényjelzés mellett hangjelzéssel is jelzik az eseményeket.Gépjárműben alkalmazható piezo sziréna ultrahangos rendszerekben, de autómosóban is használják.Impulzus és dopler efektusként alkalmazzák.nyomásmérés távolságmeghatározása piezo kristály és a piezoelektromosság fontos szerepet játszik az elektrotechnikában, ám felhasználási területe túlmutat ezen. Mind a közlekedésbiztonság, mind a biztonságtechnika fontos alapeleme a piezo kristály és nem csak az ébresztő óránk csipogója, vagy egy dallamot játszó képeslap. A bemutatott felhasználási módokon túlmutatva elképzelhető, hogy a jövő nyitásérzékelőiben, vagy zárjaiban is találkozhatunk ezen alkatrésszel. A közlekedésbiztonsági alkalmazáshoz hasonlóan parkolóhelyek, mélygarázsok biztonságának növeléséhez is felhasználható az eszköz, de lövedék begyújtására is használják. A kristályoszcillátor egy elektronikus oszcillátor, melynek működési alapja a piezoelektromos jelenség (piezoelektromosság). A mechanikus rezgések frekvenciává alakulnak át a kristályban. A kristályoszcillátort pontos és stabil frekvencia előállítására használják (digitális órák, számítógépek órajele, rádióadók/vevők, stb.). A legáltalánosabban használt piezoelektromos rezonátor a kvarckristály, de más piezoelektromos anyagok is alkalmazhatók, mint például a polikristályos kerámiák. Kvarckristályokat néhány kilohertztől több megahertzes frekvenciára készítenek. Több mint 2 milliárd kristályt készítenek évente karórákba, órákba, mobiltelefonokba, számítógépekbe, rádiókba. Kvarckristályok részei a műszereknek, mint például, oszcilloszkópok, számolók, jelgenerátorok, mérőkészülékek. A kristályok olyan szilárd anyagok, amelyekben az atomok, molekulák szabályos rendben, a tér mindhárom irányában ismétlődő minta szerint helyezkednek el, a térrácsot háromdimenziós elemi cellák hozzák létre. Elvileg majdnem minden elasztikus anyag használható lenne rezonáns frekvencia előállítására. A rezonáns frekvencia az anyag alakjától, méretétől és elaszticitásától függ. Nagyfrekvenciás kristályokat derékszögletes lapkákra vágják, a kisfrekvenciás kristályok alakja inkább a hangvillára hasonlít. Gyakran helyettesítik a kristályokat olcsó kerámiarezonátorokkal. A kvarckristályokkal elő lehet állítani a piezoelektromosság jelenségét. Ilyenkor a kristály úgy viselkedik, mint egy RLC áramkör (ellenállás, induktivitás és kapacitásból álló áramkör). A kvarckristályok további pozitív tulajdonsága, hogy megfelelő előállítás esetén igen alacsony a hőmérsékletfüggésük. Kritikus alkalmazásoknál, a kristályt tartalmazó eszközt hőmérséklet stabilizátor eszközzel tartják állandó hőmérsékleten, ilyen például a kristálykályha. Ha egy kapacitást párhuzamosan kapcsolunk a kristállyal, akkor a párhuzamos rezonancia lefele változik.Ez lehetővé teszi, a frekvencia szabályozását. A kristálygyártók úgy gyártják a kristályokat, hogy azok egy adott frekvencián működjenek. A kristályvezérelt oszcillátor áramkör fenntartja az oszcillációt, ha feszültséget kap a rezonátortól, majd ezt erősíti, és visszacsatolja a rezonátorba. A frekvenciát alapjában a kristály szerkezete határozza meg. A kristályvezérelt áramkör visszacsatolás révén állítja be stabilan a frekvenciát, és a keskeny sávszélesség miatt kiszűri a nemkívánt felharmonikusokat. A kimenő frekvencia az alapvető rezonáns érték vagy annak többszöröse. Számítógépes video képernyőknél NTSC rendszerű színes TV vevőkermészetesen frekvencia osztókkal, sokszorozókkal, fáziszárt hurkokkal, elő lehet állítani tetszőleges frekvenciákat is, ahol a stabilitást a kvarckristály oszcillátor adja.

Az öreg ember utolsó évei

Ki ő? Csak egy öreg tarpai EMBER. Szeretném úgy szeretni a feleségemet, ahogy ő tette, olyan őszintén, tisztán, képmutatás nélkül, önfeláldozóan, a felesége halálig és a saját haláláig. Amikor felesége nem volt már képes elhagyni a betegágyat, ő mindent félretolt, mindent veszni hagyott és mindent még az életét is alárendelte annak, hogy élete párjának utolsó éveit megkönnyítse. Hosszú évek szenvedése következett, aminek vége nem volt kérdéses. A férfit ért mértéktelen fájdalom, éveken keresztül gyötörte a testét és a lelkét, de mit sem törődött saját egészségével, csak a felesége sorsa volt fontos számára. A szíve fájdalmát a tehetetlenség csak még elviselhetetlenebbé tette. Amikor nagy nehezen elaludt a felesége, elbujt és kiengedte a fájdalmas könnyeit, titokban, hogy párja meg ne tudja, mert szemében mindig optimista volt és vidám, hogy ne érezze a felesége a mérhetetlen szomorúságát. Büszke ember volt, sosem láttuk sírni vagy imádkozni, de éjszaka imádkozott Istenhez, nem magáért, a feleségéért. A kitartó és türelmes gondoskodás ellenére, 5 év után Isten magához emelte felesége sokat gyötört lelkét. Az öreg feleségét, és vele az életkedvét is elvesztette. Minden héten szombat vasárnap lánya kivitte a temetőre, a sírhoz, ami mellett édesanyja is nyugodott. Hol az egyik, hol a másik fejfára támaszkodva sírt az öreg ember. Nem volt senki és semmi, ami vigaszt tudott volna nyújtani neki. Nem akart már élni, mert nem volt miért, mert elvesztette a szerelmét, akivel 65 éven át éltek együtt. Otthon csak ült némán az asztalnál, maga elé meredve, semmi sem tudta kizökkenteni a fájdalmából. Minden elveszett, ami azelőtt fontos volt számára. Nem érdekelte az almás, a szőlő, a szilva, a bor, a vadászat, a meccs, a világ, az emberek. Semmivel sem tudom kiragadni, abból a mély veremből amibe zuhant. Ha azt mondtam neki igyunk egy pohár bort, régen mindig ivott velem egy pohárkával. Most viszont azt válaszolja: te igyál, de nekem nem kell. Bár csak már meghalnék én is, gyakran mondogatja sírva, a fejfákba kapaszkodva a temetőn. A magány és a fájdalom elviselhetetlen terhe, akkor nyomasztotta igazán, amikor egyedül maradt. Nappal a hűséges vadász kutyájával beszélgetett, de ahogy eljött az éjszaka, belépett a nagyszobába, ahol évekig szenvedett párjával, szólítgatta feleségét de hiába. Nem tudott aludni, csak nappal az asztalon könyökölve, pár percet lopva, mint amikor feleségét gondozta. Napjában többször tisztába tette, fürdette, ápolta erőfelett, - pedíg ő is gondoskodásra szorult. Egész éjjel fogta a kezét, vigyázta az álmát, figyelte minden rezdülését, leste minden kívánságát. Lassan elfogy az ereje, fáj már minden porcikája, de nem panaszkodik, kicsoszog az udvarra, hogy enni adjon hűséges kutyájának, beszélget vele egy kicsit, dob néhány fát a kazánra, majd bánatosan visszamegy a kis konyhába. Minden szombat és vasárnap együtt vagyunk vele, hogy a maradék életkedve megmaradjon. Takarítunk, főzünk mosunk, és beszélgetünk vele, hogy ne érezze magányosnak magát. Persze tudjuk hogy nem pótolhatja semmi és senki a feleségét. Felelőséggel állítom, hogy Ő a hétköznapok hőse, zaklatott korunk méltó ikonja. A mi felelősségünk pedig az, hogy példaértékű élet-útját minél többen megismerhessék. Adjon Isten erőt és kitartást Karcsi bácsi...   

A diszkrét matematika titkai

A diszkrét matematika  egyik ága az elemi kombinatorika, most ezzel fogok foglalkozni.

Mivel állunk szemben, mi a feladat, ennek eldöntés e az első lépés! Kombinatorika  logika, permutáció, variáció

A kombinatorikai alapfeladatok lényege az, hogy bizonyos elemeket sorba rendezünk, vagy néhányat kiválasztunk belőlük, és esetleg utána rendezzük sorba. Minden ilyen feladatnál fellehet tenni a következő kérdéseket.

Sorba kell-e rendezni az összes elemet? (Permutáció.)

Ki kell-e választani közülük valamennyit? (Variáció vagy kombináció.)

Az elemek különbözőek, vagy azonosak is vannak közöttük? (Ismétlés nélküli vagyismétléses.)

A kiválasztás után számít a sorrend vagy nem? (Variáció vagy kombináció.)

A következőkben a fenti felsorolás zárójelben lévő fogalmait fogjuk pontosan definiálni

Permutáció = sorbarendezés:

Jellemző sajátossága, hogy az összes elemet felhasználod.

Akkor ismétléses, ha egy elem többször előfodul a sorbarendezendők között, akkor le kell osztani az eredményt annyi faktoriálissal, ahányszor előfordul az az elem. ( az összes elemmel el kell játszani ezt).

Ismétlés nélküli permutációra példa, ha 3 ember elmegy a moziba és szeretnénk tudni hány féle képen (sorrend) tudnak leülni

321

312

231

213

123

132

6 féle képpen ülhetnek le

A megoldás 5! (faktoriális) 1*2*3=6

Kombináció:

Jellemzője, hogy egy halmazból ki kell választani elemeket ( általában nem az összeset), de a kiválasztás sorrendje egyáltalán nem számít. Ismétléses, ha egy elemet többször is választhatsz. Példa: ötöslottó

Variáció:

Jellemzője, hogy egy halmazból választasz ki elemeket ( általábannem az összeset), de fontos a kiválasztás sorrendje. Ismétléses, ha egy elemet többször választhatsz. Példának most a Joker húzás jut eszembe.

permutáció

Rakd sorba az alábbi 10 betűt: [10 betű felsorolva]

A felsorolt 10 betű egy permutációját kapod meg így

kombináció

Válassz ki 4-et az alábbi 10 betűből: [10 különböző betű felsorolva]

Amit kiválasztottál, az egy 4 elemű kombinációja a felsorolt 10 betűnek

variáció

Írj fel egy 4 betűs (esetleg értelmetlen) "szót" az alábbi 10 betűből: [10 különböző betű felsorolva]

Amit kiválasztottál z egy 4 elemű variációja a felsorolt 10 betűnek.

A kombináció és a variáció esetében akkor beszélünk ismétlésesről, ha a kiválasztottak között megengedjük, hogy valamelyik többször is szerepeljen. A permutáció esetében pedig akkor, ha a megadott 10 betű között vannak azonosak.

1, Van 10 fiú és 10 lány. Ki akarunk választani kozülük 3 fiút és 4 lányt. Hányféleképp tehetjük ezt meg?

2, Van 10 fiú és 10 lány. Ki akarunk választani kozülük 3 fiút vagy 4 lányt. Hányféleképp tehetjük ezt meg?

Hányféleképpen lehet sorba rakni n különböző dolgot?

P=1·2·...·(n-1)·n=n!

például: hányféle sorrendben ülhet le egymás mellé 5 ember?

5!=1·2·3·4·5=120

Ismétléses permutációra példa ha egyformák vannak benne, mint a 3 alma 2 körte esete

54321

5!/3!*2!=10

Ismétléses permutáció fogalma

Hányféleképpen lehet sorba rakni n dolgot, ha köztük n1, n2, ..., nk darab egyforma van?

(n1+n2+...+nk=n)

például: hányféleképpen lehet sorba rakni 2 kék és 3 piros golyót?

választunk néhányat a dolgokközül (nem számít a sorrend) ismétlés nélküli kombináció

Hányféleképpen lehet n különböző dologból kiválasztani k darabot, ha nem számít a kiválasztás sorrendje és mindegyiket csak egyszer választhatjuk?

például: lottó (90 számból választunk ötöt, nem számít a kiválasztás sorrendje) 

Ismétléses kombináció fogalma

Hányféleképpen lehet n különböző dologból kiválasztani k darabot, ha nem számít a kiválasztás sorrendje és egy dolgot többször is választhatunk?

például: a lottóhúzásnál minden alkalommal visszateszem a kihúzott golyót, így egy szám

többször is szerepelhet választunk néhányat a dolgok közül és sorba rakjuk őket

Ismétlés nélküli variációra példa, az úszóverseny első három helyezetjeinek sorrendje

12345678

8*7*6=336

Ismétlés nélküli variáció fogalma

Hányféleképpen lehet n különböző dologból kiválasztani k darabot, ha számít a kiválasztás sorrendje és

mindegyiket csak egyszer választhatjuk?

Másik például: egy 10 csapatos

bajnokságban hányféle sorrend alakulhat ki a dobogón? 

Ismétléses variációra jó példa a totó

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14

3 féle lehet 1,x,2

Tehát 3 14. hatványa a megoldás, ami 4.782.969 variáció.

Ismétléses variáció fogalma

Hányféleképpen lehet n különböző dologból kiválasztani k darabot, ha számít a kiválasztás

sorrendje és egy dolgot többször is választhatunk?

V=nk

például: totó (a 3 lehetséges végeredményből (1, 2, x) képezünk 14 (13+1) hosszúságú sorozatokat)

3 14=4782969

A feladatok jelentős része vegyes típusú, ahol nem a fenti képleteket, hanem a képletek

megalkotásához alkalmazott gondolatmenetet kell használni; vagy egyértelműen valamelyik fenti

típusba tartozik, de "józan paraszti ésszel", képlet használata nélkül egyszerűbben megoldható.

Például:

- hány 5 jegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek egyszeri felhasználásával?

(ismétlés nélküli permutáció)

az első helyre bármelyik számot választhatom az 5 közül, a második helyre a maradék 4-ből, a

harmadikra a maradék 3-ból választhatok stb., így összesen 5·4·3·2·1=120

szám készíthető

- hány 3 jegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek egyszeri felhasználásával?

(ismétlés nélküli variáció)

az első helyre bármelyik számot választhatom az 5 közül, a második helyre a maradék 4-ből, a

harmadikra a maradék 3-ból választhatok, azaz összesen 5·4·3=60 szám készíthető

- hány 3 jegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből, ha mindegyiket

többször is felhasználhatom?

(ismétléses variáció)

mindhárom helyre bármelyik számjegy kerülhet, így összesen 5·5·5=125 szám készíthető

- hány 4 jegyű szám készíthető a 0, 1, 2, 3, 4 számjegyek egyszeri felhasználásával?

(vegyes feladat)

az első helyre 4 számjegyből választhatok (0 nem állhat az első helyen), a második helyre a

maradék 4-ből bármelyik kerülhet (itt már lehet 0), a harmadikra a maradék 3-ból bármelyik stb.,

azaz összesen 4·4·3·2=96 szám készíthető

- hány 4 jegyű szám készíthető a 0, 1, 2, 3, 4 számjegyekből, ha mindegyiket többször is

felhasználhatom?

(vegyes feladat)

az első helyre 4 számjegyből választhatok (0 nem állhat az első helyen), a második helyre

bármelyik kerülhet (itt már lehet 0), a harmadikra szintén bármelyik stb., azaz összesen

4·5·5·5=500 szám készíthető

Típusfeladatok:

Egy 10 tagú társaságban mindenki mindenkivel kezet fog. Hány kézfogás történik?

(ismétlés nélküli kombináció)

1. megoldás: az első ember 9 másikkal fog kezet, a második 8 emberrel (az elsővel való kézfogását

az első embernél már beszámítottuk), a harmadik 7 emberrel stb., azaz összesen

9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 kézfogás történik.

2. megoldás: minden ember 9 másikkal fog kezet, ez összesen 9·10=90. Így azonban minden

kézfogást duplán számolunk (mindkét "kézfogónál" beleszámítjuk), tehát kettővel el kell osztani,

azaz összesen 90/2=45 kézfogás történik.

3. megoldás: annyi kézfogás történik, ahányféleképpen kiválaszthatunk 2 embert a 10-ből. Azaz "10

alatt a 2"=10!/(2!·8!)=45

Egy 12 csapatos labdarúgótornán hányféle sorrend alakulhat ki a dobogón?

(ismétlés nélküli variáció)

Az első helyre a 12 csapatból bármelyik kerülhet, a második helyre a maradék 11-ből, a harmadikra

a maradék 10-ből választhatunk, azaz összesen 12·11·10=1320-féle sorrend lehetséges.

Egy 5 házból álló házsort szeretnénk kifesteni. Hányféle kifestés létezik, ha 4-féle festékünk van?

(Egy házhoz csak egyféle festéket használunk, a festékeket nem lehet keverni.)

(ismétléses variáció)

Mind az 5 házhoz használhatjuk bármelyiket a 4-féle festék közül, azaz összesen 4·4·4·4·4=1024

lehetőség van.

Egy 5 házból álló házsort szeretnénk kifesteni. Hányféle kifestés létezik, ha 7-féle festékünk van, és

minden háznak különböző színűnek kell lenni?

(Egy házhoz csak egyféle festéket használunk, a festékeket nem lehet keverni.)

(ismétlés nélküli variáció)

Az első házhoz 7-féle festékből választhatunk, a másodikhoz a maradék 6-ből, a harmadikhoz a

maradék 5-ből stb., azaz összesen 7·6·5·4·3=2520 lehetőség van.

Egy 5 házból álló házsort szeretnénk kifesteni. Hányféle kifestés létezik, ha 4-féle festékünk van, és a

szomszédos házak nem lehetnek egyforma színűek?

(Egy házhoz csak egyféle festéket használunk, a festékeket nem lehet keverni.)

(vegyes feladat)

Az első házhoz 4-féle festékből választhatunk, a másodikhoz a maradék 3-ből, a harmadikhoz

szintén 3-ből (a második ház színét nem választhatjuk, de az elsőét igen), az összes továbbihoz is 3

színből, azaz összesen 4·3·3·3·3=324 lehetőség van.

Hányféleképpen lehet sorba rakni egy fehér, egy zöld, egy kék, egy piros és egy sárga golyót?

(ismétlés nélküli permutáció)

Az első helyre 5 színből választhatunk, a másodikra a maradék 4-ből, a harmadikra a maradék 3-ből

stb., azaz összesen 5·4·3·2·1=120 lehetőség van.

Hányféleképpen lehet sorba rakni egy fehér, két zöld és három kék golyót?

(ismétléses permutáció)

Ha mind a 6 golyó különböző színű lenne, akkor 6·5·4·3·2·1=720 lehetőségünk volna. A két zöld

golyót 2·1=2, a három kéket pedig 3·2·1=6-féleképpen lehet sorba rakni. Mivel az azonos színűeket

egyformának tekintjük, az egymás közötti sorrendjeiket nem különböztetjük meg, tehát a 720

lehetőséget 2-vel, ill. 6-tal el kell osztani, azaz összesen 720/(2·6)=60 lehetőség van.

ISmétlés nélküli kombinációra példa a lottó 

35 számból 7 (külömböző) számot választunk ki

  90

  5

Kilépés a tartalomba

Matek Neked!

Főoldal

Blog

Magántanár vagyok, hirdetni szeretnék!

Kombináció

A permutáció és a variáció mellett a kombinatorika harmadik fontos fogalma a kombináció. Az alábbiakban megnézzük, hogy mi az az ismétléses kombináció, mi az az ismétlés nélküli kombináció és mi a kettő között a különbség. A definíciók mellett pedig mindegyikre hoztunk több példát is.

Ismétlés nélküli kombináció

Legyen n egymástól különböző elemünk. Ha ezekből k (k \leq n) elemet kiválasztunk minden lehetséges módon úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel, akkor az n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációját kapjuk. Jelölése: C_{n}^{k}.

Most már tudjuk, hogy pontosan mit is értünk ismétlés nélküli kombináción, azonban azt még nem láttuk, hogy hogyan lehet ezt kiszámolni. Ebben a következő tétel lesz segítségünkre:

Az n elem k-ad osztályú összes ismétlés nélküli kombinációjának száma n alatt a k:

C_{n}^{k} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k \cdot (k-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} = \binom{n}{k}.

Most pedig nézzük meg néhány példán keresztül, hogyan tudjuk felhasználni a fent leírtakat.

Ismétlés nélküli kombináció segítségével megoldható feladatok

Feladat: Határozzuk meg, hogy hányféleképpen lehet kitölteni egy ötöslottó szelvényt!

Segítség: Az ötöslottó számok kiválasztásánál 90 számból kell kiválasztanunk 5 számot. A kiválasztás során a sorrend nem számít, de egy számot csak egyszer választhatunk, így ismétlés nélküli kombinációról beszélünk.

Megoldás: Esetünkben 90 szám közül kell kiválasztanunk 5 számot, vagyis n = 90 és k = 5. Tehát a C_{90}^{5}-t keressük. A képletbe behelyettesítve a megoldás:

 C_{90}^{5} = \frac{90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot \ldots \cdot 86}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{90!}{5! \cdot 85!} = \binom{90}{5}=43949268.

Nézzük most meg a következő feladatot.

Feladat: Egy ötfős társaságban mindenki kezet fog mindenkivel. Hány kézfogás történik összesen?

Segítség: A kézfogások száma megegyezik azzal, ahányféleképpen kiválaszthatunk 5 ember közül 2-t. Azaz 5 elem másodosztájú ismétlés nélküli kombinációjáról beszélünk.

Megoldás: n=5 és k=2. A képletbe behelyettesítve a megoldás:

 C_{5}^{2} = \binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10.

Ismétléses kombináció

Legyen n egymástól különböző elemünk. Ha ezekből k elemet kiválasztunk minden lehetséges módon úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel és ugyanazt az elemet többször is kiválaszthatjuk, akkor az n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációját kapjuk. Jelölése: C_{n}^{k,i}.

Az ismétlés nélküli kombinációhoz hasonlóan ebben az esetben is a kiszámításra vonatkozó tétellel folytatjuk, majd pedig megnézünk egy feladatot.

Az n elem k-ad osztályú összes ismétléses kombinációjának száma n+k-1 alatt a k:

C_{n}^{k,i} = \frac{(n+k-1)!}{k! \cdot [(n+k-1)-k)]! } = \frac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)! } = \binom{n+k-1}{k}.

Ismétléses kombináció segítségével megoldható feladatok

Feladat: Egy 24 fős osztályban kisorsolunk 5 könyvet. Minden könyv egyforma és egy ember több könyvet is kaphat. Hányféleképpen tehetjük ezt meg?

Segítség: A feladatban 24 ember közül akarunk kiválasztani 5 embert úgy, hogy egy embert többször is választhatunk. A könyvek mind egyformák, vagyis ismétléses kombinációról van szó.

Megoldás: n= 24 és k=5. A megoldás így:

C_{24}^{5,i} = \frac{(24+5-1)!}{5! \cdot [(24+5-1)-5)]! } = \frac{(24+5-1)!}{5! \cdot (24-1)! } = \frac{28!}{5! \cdot 23!} = \binom{24+5-1}{5} = \binom{28}{5}=98280.

Másik példa egy 10 fős társaságban 4 könyvet osztunk szét. Hányféleképpen tehetjük meg, ha minden könyv

különböző, és mindenki csak egy könyvet kaphat?

(ismétlés nélküli variáció)

Az első könyvet a 10 ember közül bárkinek adhatjuk, a második könyvet a maradék 9, a harmadikat

a maradék 8 közül bármelyiknek stb., azaz összesen 10·9·8·7=5040 lehetőség van.

Egy 10 fős társaságban 4 könyvet osztunk szét. Hányféleképpen tehetjük meg, ha a könyvek

egyformák, és mindenki csak egy könyvet kaphat?

(ismétlés nélküli kombináció)

A kérdés az, hogy hányféleképpen választhatjuk ki a 10 ember közül azt a négyet, aki könyvet kap

(mivel a könyvek egyformák, a kiválasztás sorrendje nem számít). Összesen "10 alatt a 4" = =

10!/(4!·6!)=210 lehetőség van.

Egy 10 fős társaságban 4 könyvet osztunk szét. Hányféleképpen tehetjük meg, ha minden könyv

különböző, és mindenki több könyvet is kaphat?

(ismétléses variáció)

Mind a 4 könyvet kaphatja a 10 közül bármelyik ember, azaz összesen 10·10·10·10=10000

lehetőség van.

Egy 10 fős társaságban 4 könyvet osztunk szét. Hányféleképpen tehetjük meg,

ha a könyvek egyformák, és mindenki több könyvet is kaphat?

(ismétléses kombináció)

1. megoldás: az ismétléses kombináció képlete nem érettségi anyag, de a következő gondolatmenet

alapján megalkothatjuk az általános képletét. Szemléltessük a kiosztást a következőképpen: a 10

embert jelképezze 10 fehér golyó, a 4 könyvet pedig 4 fekete golyó. Rakjuk sorba a 10 fehér golyót,

és mindegyik elé tegyünk annyi feketét, ahány könyvet kap a neki megfelelő ember. Pl. az első

ember 1 könyvet kap, a negyedik kettőt, a tizedik pedig egyet: ●○○○●●○○○○○○●○

a lerakási szabályunk miatt a 10. fehér golyó után semmiképpen nem állhat fekete, így azt el is

hagyhatjuk: ●○○○●●○○○○○○●

A könyveket tehát annyiféleképpen oszthatjuk ki, ahányféleképpen lehet 9 fehér és 4 fekete golyót

sorba rendezni. Ezt 13!/(9!·4!)=715-féleképpen tehetjük meg (ha az összes golyó különböző színű

lenne, akkor 13·12·...·2·1=13! lehetőség volna. A 9 fehér golyót 9·8·...·2·1=9!, a 4 feketét pedig

4·3·2·1=4!-féleképpen lehet sorba rendezni. Mivel az azonos színűeket egyformának tekintjük, az

egymás közötti sorrendjeiket nem különböztetjük meg, tehát a 13! lehetőséget el kell osztani 9!-sal

és 4!-sal).

2. megoldás: Vegyük sorra az összes lehetőséget:

Ha mind a 4 könyvet ugyanaz az ember kapja, akkor 10-féleképpen oszthatjuk ki.

Ha egy ember kap 3 könyvet, egy másik pedig 1-et, akkor 90-féleképpen oszthatjuk ki: a 3-

könyvest 10, az 1-könyvest pedig a maradék 9 emberből választhatjuk ki, azaz összesen 10·9=90

lehetőség van.

Ha 2 ember kap 2-2 könyvet, akkor 45-féleképpen oszthatjuk ki :"10 alatt a 2"= =10!/(2!·8!)=45-

féleképpen választhatjuk a 10-ből azt a 2 embert, aki könyvet kap.

Ha 4 ember kap 1-1 könyvet, akkor 210 lehetőség van :"10 alatt a 4"=10!/(4!·6!)=210-féleképpen

választhatjuk ki a 10-ből azt a 4 embert, aki könyvet kap.

Ha egy ember kap 2 könyvet, 2 pedig 1-1 könyvet, akkor 360 lehetőségünk van: a 2-könyvest 10

emberből választhatjuk ki, a két 1-könyvest pedig a maradék 9-ből ("9 alatt a 2"=9!/(2!·7!)=)36-

féleképpen, azaz összesen 10·36=360-féleképpen választhatjuk ki a 3 emberünket.

Összesen tehát 10+90+45+210+360=715 lehetőség van.

Példa

4 üveget 5 rekeszbe hányféleképpen rakhatunk bele?

kiválasztás 5 elem 4 ismétlés nélküli kombináció!

Ismétlés nélküli variáció n különböző elem közül k elemet kell kiválasztani (k ≤ n). Egy elem csak egyszer választható, a sorrend számít. 4 elemből {a,b,c,d} kettőt választva:

Ismétléses variáció

n különböző elem közül k elemet kell kiválasztani. Egy elem töbször is kiválasztható, a sorrend számít.

A különböző kiválasztások száma:4 elemből {a,b,c,d} ki kell választani kettőt, úgy hogy az elemek ismétlődhetnek:

Az összes lehetséges eset száma tehát:

Binomiális tétel

Ismétlés nélküli permutáció

n különböző elemet kell az összes lehetséges módon sorba rendezni.

Pn=n!

Ismétléses permutáció

n olyan elemet kell sorba rendezni az összes lehetséges módon, amelyek között ismétlődő elemek is vannak. Az ismétlődő elemek száma:

7 elemet: {a,a,a,a,b,b,c} elem sorbarakása esetén láthatjuk hogy az első elem négyszer, a második elem kétszer ismétlődik:

Az összes lehetséges rendezés száma tehát:

Ismétlés nélküli kombináció

n különböző elem közül k elemet kell kiválasztani (k ≤ n). Egy elem csak egyszer választható, a sorrend nem számít.

A különböző kiválasztások száma:5 elemből {a,b,c,d,e} kettőt választva:

Ismétléses kombináció

n különböző elem közül k elemet kell kiválasztani. Egy elem töbször is kiválasztható, a sorrend nem számít.

A különböző kiválasztások száma:4 elemből {a,b,c,d} ki kell választani kettőt, úgy hogy az elemek ismétlődhetnek:

Az összes lehetséges eset száma tehát:

Ismétlés nélküli variáció

n különböző elem közül k elemet kell kiválasztani (k ≤ n). Egy elem csak egyszer választható, a sorrend számít.

A különböző lehetőségek száma:4 elemből {a,b,c,d} kettőt választva:

Fogalmak

Faktoriális tétel!

Binominális tétel!

Szitaformula!

Polinominális tétel!

Hosszú élet titka

A vegetáriánus életmód,  naponta dió, sétálás, jóga, biciklizés friss levegő, pihenés. Siesta minden nap, hal, kávé, zöldségek és olívaolaj, sok zöldség, naponta két főtt kávé. Fizikai munka rendszeres szex, optimista világszemlélet és az egészséges táplálkozás.harmóniában élnek a természettel, értékelik a pihenést, de emellett keményen dolgoznak, sokat mozognak, és van motorja az életüknek, azaz minden reggel tudják, hogy mire ébrednek. Sok hüvelyes kerül a tányérjukra, amiket gyümölcsökkel, gabonafélékkel és magvakkal kombinálnak. A tengeri hínár és alga naponta ötször fogyasztanak zöldséget és gyümölcsöt, és jóval több szíverősítő halat fogyasztanak, Az édesburgonya, a balzsamkörte, a karotinban gazdag tengeri herkentyűk, mint például a moszatok, illetve a leveles zöldségek és gyümölcsök öregedésgátló hatásúak, hiszen gyulladáscsökkentőek és enyhítik az oxidatív stresszt. Amint az közismert, a nyugalom a hosszú élet titka. Sok hal, telítetlen zsírsavak és jó levegő. A tejtermék nélküli húsmenetes étrend A szereplők az istenhitet, a kemény munkát, az egészséges és természetes táplálkozást, valamint főleg a stresszmentes életet tartják hosszú életük „titkának”.Folyóvíz, ami rengeteg magnéziumot és kalciumot „mos ki” a kövekből, megkóstolják a vitaminokban gazdag, egészséges ételeket.

Paradoxonok bizonyítása hipotézisekkel

Kedves hallgatóim! Logika dilemmák tucatjai láttak napvilágot, úgy osztották érte a Nobel díjat mint a fagyis a gombócokat. Az emberiség miért nem találta eddig a földönkívüli civilizációk nyomát, amikor a Nap fiatalabb, mint a galaxisunkban található sok csillag . A fejlettebb civilizációknak kellett volna megjelenniük a régebbi bolygórendszerek között, és nyomokat kellett hagyniuk. Csak újabb kérdéseket vetnek fel az okoskodó tudósok. „Ha földönkívüli civilizációk léteznének, képviselőiknek már velünk kellene lenniük. Hol vannak akkor? " Előfordulhat, hogy egy technológiailag fejlett civilizáció megjelenésének valószínűsége nagyon alacsony, ezért egy akkora univerzumra van szükségünk, hogy esélye legyen egyszer (de sokkal kevésbé valószínű kétszer) bekövetkezni.); Előfordulhat, hogy földönkívüliek is léteznek, de egy vagy másik okból a csillagközi kommunikáció és az utazás lehetetlen vagy nem tekinthető kívánatosnak; Az élet másutt is létezhet, de olyan helyeken, amelyek nehezen észlelhetők - például a hidrotermikus szellőzőnyílások köré szerveződött jégréteg által védett óceánokban  ; Végül előfordulhat, hogy földönkívüliek léteznek és látogatnak el hozzánk, de a jelenlegi technikai eszközökkel nem észlelhető módon. Az áltudományos okoskodások az antropo -centrizmuson alapulnak , vagyis egy olyan érvelésen, amely a valóságot az egyetlen emberi perspektíván keresztül éri fel, ezen érvelés szűkössége megakadályozná a földönkívüli élet kérdésének megoldását. A statisztikai eszközök (például a Drake-egyenlet ) megkísérelték tudományos formába önteni. Más megközelítések (például az evolúció elmélete , az ökológia vagy a számítógépes szimuláció ) kiszélesítették a reflexió alapját. De még mindig nincs konszenzus a kérdésben. Enriko Fermi, Teller Edward és Szilárd Leó és még sokan mások foglalkoztak a témával. Az ostoba és beképzelt emberiség azt állítja magáról hogy "Mi vagyunk az egyetlen intelligens és technológiailag fejlett civilizáció az Univerzumban? "  "Ha léteznek idegenek, akkor hol vannak? " A paradoxon tehát a következő: ha feltételezzük a földönkívüli élet létét, annak már nyilvánvalóan meg kellett volna nyilvánulnia, ennek ellenére nem figyelünk meg  cáfolhatatlan nyomát. Fermi a paradoxon premisszáinak feltevésével zárja le a nevét: ha földönkívüli civilizációk léteznek, akkor a logika szerint ez a jelenség már előfordult, sőt sokszor; ezért számításai alapján a Földet már régen, sőt azóta többször meg kellett volna látogatni.  Mivel ez az időkeret kicsi a Tejút korához képest ,  az a tény, hogy a Földet nem gyarmatosították, azt jelenti, hogy nincs földönkívüli civilizáció. Csend van egyedül vagyunk, félünk ezért elképzelünk magunknak ufókat, hogy bele ne őrüljünk a magányba, mint Robinson Pénteket. Egyedül vagyunk - e, vagy lehetnek az aszteroidaövben? lehet hogy a földönkívüliek rejtve maradnak a Naprendszer kisbolygóövében , anélkül, hogy beavatkoznának civilizációnkba. „Enrico Fermi felismerte, hogy bármely civilizáció, amely rendelkezik rakétatechnológiával és megfelelő mennyiségű ösztönzéssel, igen gyorsan gyarmatosíthatja az egész galaxist” Egy kellően fejlett civilizáció nem is törekszik a támadásra a galaxisban, meglepő lenne, ha nem indítanának von Neumann-szondát .  A Fermi-paradoxon arra a kérdésre keresi a választ, hogy hol lehetnek az idegenek. Az elképzelések szerint mivel a Naprendszer csupán 4,5 milliárd éves, sokkal fiatalabb, mint a világegyetem többi része, melyek körülbelül 13,8 milliárd éves, a Földet már meg kellett volna látogatniuk az idegeneknek.  megoldásokat. "Ha ugyanaz az erő, ugyanaz a természet megmarad annak érdekében, hogy ezeket az elemeket ugyanazon helyeken minden helyre összegyűjthessük. Ha el akarja rendelni, hogy a mi világunkon gyűltek össze, akkor el kell ismernie, hogy az űr más régióiban vannak más földek, mint a miénk, és az emberek és más fajok primitív fajok. "  "Hol vannak?" " miért nincsenek itt? " Vannak bolygók más csillagok körül , hogy földönkívüli civilizáció biztosan bölcsebb és idősebb, mint a miénk biztosan létezik, de nem hajlandók zavarják a történelem, hogy ne nyomja meg bennünket a pusztulástól. "Ez tehát a paradoxon: minden logikánk, minden anti-izocentrizmusunk biztosítja, hogy nem vagyunk egyedülállóak - ott kell lenniük. És mégsem látjuk őket. "és arra a következtetésre jutott, hogy az emberiség az egyetlen intelligens civilizáció a galaxisban. A megfigyelések szerint jelenleg a Földön nincsenek a világűrből érkező intelligens lények. „Ez a tény leginkább azzal a hipotézissel magyarázható, hogy nincsenek más fejlett civilizációk a galaxisunkban”  már több mint 4500 exobolygó létezését igazolták. A vizsgálatok fő célja az, hogy megértsük, milyen gyakran alakulnak ki kőzetbolygók a szülőcsillag lakhatósági zónájában. A feltevések alapján rengeteg lakható terület van a világegyetemben. Minden ötödik napszerű csillagnál egy nagyjából Föld méretű bolygó kering a lakhatósági zónában. A csillagászok több olyan bolygót is találtak, ami a vörös törpék körül kering a lakhatósági zónán belül, az azonban nem világos, hogy ezek a bolygók pontosan mennyire lakhatók. A tudósok szerint további vizsgálatokra van szükség ahhoz, hogy jobban megértsük ezeket a csillagokat és az élet fennmaradásának a képességét körülöttük. A Fermi-paradoxon megoldásához azonban nem elég azt tudni, hogy milyen gyakran alakulhat ki élet idegen bolygókon, fontos szempont például az is, hogy a feltételes idegen intelligencia képes-e felvenni a kapcsolatot más intelligens életformákkal. Az is lehet, hogy az  intelligens idegenek hallgatnak, mert attól tartanak, hogy a kozmikus szomszédokkal való kapcsolatfelvétel a saját leigázásukat vagy megsemmisülésüket vonhatja maga után. Lehet hogy az emberiségnek nem kellene aktívan hirdetnie a jelenlétét. Amint látjuk megint nem oldottuk meg a problémát, inkább újabb kérdések merültek fel. Lehet hogy ők értelmes lényeket keresnek, aminek mi nem tudunk megfelelni. Persze ufók nincsenek, de a kormányok  a titkos katonai projekteket e-mögé rejtik, fenntartva az ufó őrületet a közvéleményben...

A sebesség nem növelhető a végtelenségig az emberi test nem alkalmas rá.  A "G" a gravitáció szóból származik; ez a Föld tömegvonzása, mely mindannyiunkra hat, értéke tengerszinten 9.81 m/s2 (értékadásnál, képletben "g" használatos). Utóbbi felel meg 1G-nek, ekkor testtömegünk pont annyi, mint amit otthon, közönséges személymérlegünkről leolvashatunk. A látás pillanatnyi teljes elvesztésével jár 5G terhelés. Ennél az értéknél egy 70 kg-os embert csaknem 330 kg-nak megfelelő erő szorítja a pilótaülésbe. A manőver, illetve az erőhatás iránya persze lehet olyan is, hogy a pilóta elveszíteni érzi testsúlyát, pillanatokra akár súlytalansághoz közeli állapotba kerülhet. Ekkor a "G" negatív előjelet kap. Utóbbi kisebb mértékű (ez a G-mérők beosztásán is látszik: általában -4, -6-tól +8, +12-ig terjedő skálázást láthatunk rajtuk), de a megfigyelések szerint a bemutatók során annál jobban reprezentál, hiszen a teljes repülőidő kb. 50%-ára a negatív tartományba eső értékek jellemzők. A G-hatások alapvetően az érrendszerben lévő véreloszlást változtatják meg. Minél nagyobb G-hatás éri a pilótát, annál jelentősebb ez a változás, annál nagyobb terhelés szorongatja valahol a véredények falát. A látás elszürkülése 4G terhelés körül kezdődik, 4.7G körül a látótér a retina megfelelő vérellátásának súlyosbodó zavara miatt már elfeketedhet (blackout). Ekkor a pilóta még tudatánál van, de az agy elégtelen vérátáramlása okán már a mozgáskoordinációja is akadozhat. 5.4-5.5G terhelésnél eszméletvesztés következhet be, mely akár másodpercekig eltarthat, a feleszmélés utáni megfelelő tájékozódóképesség visszanyeréséhez szükséges időről már nem is beszélve. A műrepülés során a pilótákra ható erők dinamikusan változnak, széles skálán, negatív és pozitív tartományban oszlik el az összterhelés, extrém G-hatásnak hosszú ideig nincsenek kitéve, az ilyet nyilvánvalóan – saját érdekükben – el is kerülik. Ki gondolná, hogy a repülőgép orrirányú, hosszú szabadesésből történő felhúzásánál (pull up) pl. egészen elképesztő terhelést kell elviselni, szerencsére csak pillanatokig. Ekkor egy 75 kg-os ember háromnegyed tonnányi tömeggel préselődhet az ülésbe. El lehet képzelni, mit kell kibirnia az ideg- és érzékszervrendszerek mellett a passzív és aktív mozgásszervrendszernek, a nyaknak, gerincnek, izületeknek és az ezeket áthidaló, stabilizáló, illetve működésben tartó izmoknak. Negatív G esetén vértolulás jelentkezik a fej-nyaki régióban, legegyszerűbb esetben fellép a "redout" effektus – a pilóta vörösen lát, a szem erei tágulnak, az arc is kipirul, fejfájás jelentkezhet. A vértolulás a mellkasban is pangást okoz, ez akár arritmiát, azaz ritmusvesztett szívműködést eredményezhet, enyhébb esetben csak a szívösszehúzódások frekvenciájának rövid ideig tartó, de számottevő csökkenésével (bradycardia). Az időfaktor több tekintetben is fontos. Nem csak a behatás időtartamára vonatkozóan, hanem a dinamikát, az erőhatások változását illetően is: ha a szélsőértékek távol vannak, és mindkettőt rövid időn belül tapasztalja meg a pilóta, az több veszélyt rejt magában (például egy vertikális nyolcasban -5G-től +5G-ig, 10-15 mp-en belül). A G-hatások tűrése egyénenként más és más. A már fentebb leírtak átlagértékek, melyektől jelentős eltéréseket is tapasztalhatunk. A műrepülő pilóták magától értetődően a legellenállóbbak, hiszen az egyedi adottságok mellett a tűrőképesség fejleszthető. Nem szegődik hozzájuk a blackout jelenség akár 7G-nél sem, a pillanatnyi eszméletvesztés pedig csak 8.5-9G körül vagy ezen érték felett lép fel náluk, de ez végzetes lehet. Aki már repült az tudja, hogy betegen igen kellemetlen, ellenjavallt vagy egyenesen tilos akár még egy kényelmes, öreguras utasszállító repülőgépre is felszállni. Kisebb, banális fertőzések is csökkentik a G-hatásokkal szembeni tűrőképességet, de hasonló hátrányt okoz az alacsony, ritkábban a magas vérnyomás, különféle gyógyszerek szedése, idegi stressz, túl hosszúra nyúlt álló vagy ülő tevékenység, vagy éppen egy megelőző, túlzott napozás.  A "grayout" jelenségnél a színek kimosódnak, a látótér elszürkül.

Versek neked!

Hinni szeretnék...

Hinni szeretnék magában

Hinni szeretnék a szavában

Hinni szeretnék a könnyében

Hinni szeretnék a csókjában

Hinni szeretnék a mosolyban

Hinni szeretnék az ígéretekben

Hinni szeretnék a szerelemben

Hinni szeretnék a családban

Hinni szeretnék a csodában

Hinni szeretnék az emberekben

Hinni szeretnék a hazában

Hinni szeretnék a világban

Tavasz köszöntő

Eljött a kikelet, tél anyó már messze jár

A vakító nap lassan nyalja a hűs havat

Meleg tavaszi szellő simogatja a fákat

Előcsalja a  hóvirágot a hideg földből

Gyönyörű zöld ruhát ölt a hatalmas rét

A zöld szőnyegen legelésznek az őzek 

A fák ágain megjelennek a friss rügyek

Az énekesmadár víg dala száll az égen

Apró színes virágok  hirdetik a tavaszt.

 

Édesanyám haza vár!

A tornácon vár már engem!

Szótlanul némán csendben.

Haza kéne végre mennem, 

Otthon, finomakat ennem,

Megint gyermeknek lennem. 

Fejemet kötőjébe tennem,

Míg pihenne a karosszékbe,

Békesség lenne a lelkébe.

Árok partján, neki virágot szedni,

Szelíd csókjaimmal megölelni.

Örülni a forró levesnek,

Az illatos kenyérnek,

A hideg víznek,

Az otthon melegének,

Édesanyám, csillogó szemének.

 Édesanyám, emlékére

A halál az élted tőlem elrabolta, 

Nincs, már ki védőn átkarolna. 

Fáradt tested is a porba vész,

Nem érti ezt már a józan ész.

Mennyi mosolyt kaptam tőled,

De mégis könnyet adok főleg.

A szerető csókért most cserébe,

Csak virágot hozok cserépbe.

Itt állok a sírnál némán tétlenül

Miért büntetsz engem vétlenül

Még hallom óvó féltő szavad,

Fájó szívem majd meg szakad.

------------

Adj Uram

(Orationis)

 Kenyeret az éhezőnek, és bocsánatot a vétkezőnek,

Békességet a háborgónak, üdvösséget a távozónak,

Reménységet a betegnek, megnyugvást a lelkemnek,

Meleg otthont a hontalannak, mások célját a gondtalannak,

Dicsőséget az érdemesnek, újabb esélyt a végzetesnek,

Jó menyecskét a legényeknek, boldogulást a szegényeknek.

 ------------------------------

A Sóstó partján

Lágy szellő simogatja a vizet szerelmesen,

Csak én ülök a parton, némán egyedül.

Mögöttem cinkosul összebújnak a fák.

Egymáshoz simulva kéjesen zúgnak.

Mint a forró arany úgy csillog a tó vize,

A felszínén fehér hattyúk himbálóznak. 

A hold szemérmesen fürdik a habokban,

Mint a csillogó tükörben az aranyhaj

Fénylő gyémántként lebegnek a csillagok

A Sóstó partján szomorúan ballagok

Körös-körül hallgat a zajos vad világ,

Szívemben kinyílik egy szép virág.

 

-------------------------

A boldogság kereső

Úttalan utakon, Messze sodort a szél,

A boldogságot kerestem ez volt a cél.

A világban messze zengett az én dalom,

A szélben nem hallatszott a fájdalom.

Vad villámok cikáztak a sötét éjben,

Földöntúli hangok jajgattak a mélyben.

Rettegő szívem megremegett félve belül,

A sötétben van igazán az ember egyedül.

Nincs ki bátorítva a kezemet megfogja,

Magányos lelkem, az örök félelem foglya

Amikor majd megtalálom az igazit végre,

Megnyugszik a szívem és eljön majd a béke.

 

----------------------------------------------

Adni hittel

Itt állok a Tarpai hegy lábánál,

Az öreg kút száz éve adja vizét,

Unalmasan telik el minden napja.

Nem csügged, nem panaszkodik.

 Milyen szép, magasztos feladat

Csak adni, adni mindenkinek.

Végtelen kúttá kellene válnunk!

Hogy adhassunk egész életünkben.

 

Mindig csak adni nem fárasztó?

Hogy győzöd? ezt vízzel, erővel!

Öreg kút, hogy bírod még mindig?

Vajon mi ad neked erőt, és reményt?

 Csak mosolyog a víztükör, és ragyog,

"De hiszen a forrás nem én vagyok!

Hiszen árad belém, csak továbbadom

Vidáman, jókedvvel és szabadon."

 Emberként hadd éljek ily nemes életet,

Osszak áldást és még több szeretetet!

A talentumot ingyen kaptam Istentől,

Hogy kérhetnék érte pénzt bárkitől.

 Mindenki azt adja, amit a szívében lel,

Én, csak ennyit tudtam adni nektek el.

Ha már túl jó leszek, hogy köztetek legyek,

Isten majd megölel, és én végleg elmegyek 

-----------------

Búcsúbeszéd!

 Annyi mindent lehetne tenni még, de itt az idő, eljött a vég,

Isten homlokon csókol, majd megáld és forrón magához ölel.

Mennyi időt vesztegettem el, mennyi csókot mulasztottam el,

Mennyi könnyet pazaroltam el, mennyi álmot szalasztottam el.

Így utólag, talán mégis megérte, mert megéltem és megértem,

Olyan nagydarabot hagyok a szívemből, amit kikerülni nehéz,

Könyvekben, könnyekben, így néha belebotlik majd a józanész.

Elfáradt a test, elröpült belőle az élet, de a lélek még ott maradt,

Örök időkre abban az apró, jelentéktelen pár sorban a papíron,

Hiába küzd a világ, hogy kitörölje, csak mélyebbre radírozza. 

Így emlékem már örökké él, és nem árthat neki a fagyos tél,

Elindulok a hóba, a rideg télbe, most már végleg halálra ítélve.

A jót az élet kissé szűken mérte, mégis hálás vagyok neki érte,

Hiába lettem polihisztor, mégis szürke eminenciás maradtam.

Mert a fény, bántó nekem, így az árnyékból hallattam szavam,

Nem háborog már régen a lelkem, a világot némán szemlélem.

Eljött értem az ördögszekér, egy nemes lélek nem mehet gyalog!

Kezeimen barna folt, arcomon ezernyi redő, végállomás a temető,

Lelkem hárfáján nincs már húr, Harangok zúgásával hív az Úr!

 

----------------------------------

A provokátor hangja

Vadul vagdalkozva dobálja a sarat,

Indulatos hévvel formálva a szavat,

Míg magasba lendül fenyegető karja,

Néhány zendülő őt vezérnek akarja.

 Félő tekintetem az arcok közt halad,

Pillantásaikban vad gyűlölet és harag.

A provokátor szava, erős kardot farag,

A csapat élére áll, de vajon ott is marad?

Rút átkokat szórva izzón nyelve pereg,

Az első csepp esőre szétszéled a sereg.

Végül legnagyobb sikerét velem érte el,

Az elhangzott indulat, szót sem érdemel.

 ----------------

 

Rém-rímek

 Nehezen formálom már a dalom, 

Akadályoz egy idegen hatalom.

A rímeket én már hiába faragom,

Nem jutok én sehova angyalom. 

Hogy segíthetnék így magamon,

Elakadnak a rém rímek a falakon.

Feladom és veszem a kalapom,

Az ihletet másnak meghagyom.

 ---------------

 Itt az idő

 Ideje a születésnek,  és ideje halálnak

ideje a vetésnek, és ideje az aratásnak

Ideje a csóknak, ideje az ölésnek

Ideje a szerelemnek, és ideje a szakításnak 

Ideje a gyűjtésnek, és ideje a szórásnak

Ideje a varrásnak, és ideje a szakadásnak

Ideje a betegségnek, és ideje a gyógyulásnak

Ideje a szeretetnek, és ideje a gyűlöletnek

Ideje a békének, és ideje a háborúnak.

Ideje a kevélységnek és ideje a szerénységnek

Ideje az igazságnak és ideje a hazugságnak

Ideje a rombolásnak, és ideje az építésnek

 Ideje a sírásnak, és ideje a nevetésnek

Ideje  a megtartásnak, és ideje az elvesztésnek

Ideje a munkának és ideje a pihenésnek

Ideje a táncnak, és ideje a gyásznak.

Ideje a beszédnek, és ideje a hallgatásnak...  

 -------------------------

Telis-tele

 A mező tele van virágokkal

A kanyargó folyó halakkal

A kék óceán nagy hajókkal

A tengerpart éles sziklákkal,

 Az ég tele van a csillagokkal

Az élet tele van fájdalommal

A bús fejem gondolatokkal

Remegő kezeim homokkal

A világ tele van szegénnyel

A szegény tele van reménnyel

A remény tele van eséllyel

A végtelen út vándorokkal...

 -------------------------

 A Hős hazafi

A háború vad, zajos a füleknek,

Itt mindennap hősök születnek.

Sorsdöntő nap a mai, mert ma győzünk,

Gyilkos ellenséget örökre kiűzünk.

 Jön az éles golyó lánggal, fénnyel,

Mégis tele a szívünk reménnyel.

Égnek testünkben tüzes billogok,

Szállnak vállunkra fényes csillagok.

 Én, drága Hazám, én, drága népem,

Nem jártam otthon már oly régen.

Hű fiad őrzi magyar szavát és hitét,

Mert otthon hagyta a szerető szívét.

 Az őrségben virrasztunk, soha nem alszunk,

Mert a Hazánk büszke őrei mi vagyunk!

Halállal dacolunk, énekelve meghalunk,

De magyar földet idegennek nem hagyunk!

-------------

 A háború áldozatai

 Háborúba mennek az emberek,

Hogy belőlük holtak legyenek.

Hullanak a katonák, mint a legyek,

Nézek magam elé, és csak megyek.

 Előttem szerteszét hullahegyek,

Mindent beköpnek a rút legyek.

Mögöttem bűz, füst és vér szaga,

Haldokló emberek utolsó szava.

 A félelemtől a két lábam remeg,

De megállni már nem merek.

Egy golyó eltalál, csak verselek,

Tovább megyek, majd elesek.

 Számból a forró vérem pereg,

Fáradt szemem az égre mered.

Tiszta lelkem a mennybe száll,

Valaki majd síromnál megáll.

 -----------------

 

A tékozló fiú

 

Az éhség hajt mindig előre,

Ettől kapsz csak újabb erőre.

Rablóként teszed a dolgod,

Gyilkosként ez lett a sorsod.

A nyomor súlyos véres átok, 

Ördög és pokol tüze vár rátok.

Te is bűnöző lettél fiam, látod!

a sötétség és a vér lett a barátod.

--------------------

 Elmélkedem

 Isten szarvat ad a bikának

Szerető szívet a fiának

Villámgyors lábat az őznek

Szépséget és észt a nőnek

 A cápának éles fogat

A póknak lábat sokat

Erős szárnyat a madárnak

Újabb esélyt a halálnak.

 Karácsonyi üdvözlet!

 

Csillogó hó szál a tájra,

Vén kunyhóra palotára.

Fenyőágon sok jégvirág,

Ünnepel az egész világ.

A karácsonyfa csupa fény,

Az ember szívében remény.

A jóság, szeretet, áhítat,

Könnyes szemet átitat.

Ha ez egyszer valóra válna,

Béke szállna a világra.

------------------

Kedvesemnek!

 

Ne állj itt sírva Kedvesem,

Nem találsz meg engemet.

Ott vagyok az ébredésben,

A könnyes két szemedben.

 A dobogó árva szívedben,

A zuhany simogatásában.

A hajadat fésülő szélben,

Suttogásban a sötét éjben.

 Csillagokban fenn az égen,

Gyémántként a falevélen.

A nyíló illatos virágban,

A sárgarigó énekében.

 Az érett fürt szőlőben,

A hűsítő pohár vízben.

A frissen sült kalácsban,

A körülötted lévő világban.

 --------------------------------

Csak monoton

 Pókok kergetőznek a homokon

Csak a bús szél fúj a romokon

Áll néhány öreg fa a dombokon

Madarak énekelnek a lombokon

 A versem hangzása monoton

Kitartóan írok és konokon

Szavak játszanak a sorokon

A bánatomat versbe zokogom

 -----------------------

 Nő nélkül

 Mit ér a férfi nő nélkül

A szívem a szíved nélkül

A gyönyör szerelem nélkül

A könny a csókod nélkül

 Mint a kályha tűz nélkül

A szép virág illat nélkül

A fény az árnyék nélkül

A kút hűsítő víz nélkül

 A vad folyó a híd nélkül

Az út a zarándok nélkül

Az üres agy értelem nélkül

Az ember élet hit nélkül

 -----------------------

 

A csábító

 

Járása igéző, Éneke kábító,

Nézése bénító, Mosolya, lázító,

Szava sejtelmes, Nevetése bódító,

Szerelme halálos, Szuszogása altató, 

Ölelése mámorító, Hangja andalító,

Érintése vadító,  Szeme csábító

Teste izgató, Csókja izzó...

  -------------------

Tavasz köszöntő

 Eljött a tavasz, a tél titokban messze jár

A vakító nap lassan nyalja a hűs havat

Meleg tavaszi szellő simogatja a fákat

Előcsalja a  zöld füvet a hideg földből

Gyönyörű zöld ruhát ölt a hatalmas rét

A zöld szőnyegen legelésznek az őzek 

A fák ágain megjelennek a friss rügyek

Az énekesmadár víg dala száll az égen

Apró színes virágok  hirdetik a tavaszt.

------------------

A temetőn

 Az eső hull, Isten siratja a holtat,

A hideg sír előtt egyedül állok,

Sós könnyeimet elmossa az eső,

A hideg szél himbálja a  koszorút,

Gyertyát gyújtok csendesen,    

Reszketőn némán gyászolok,

A virágok is elszáradtak már,

Lassan én is elfonnyadok tán.

 --------------------

Mit szeretnék veled tenni?

 

Szerelmes lenni, Hozzád menni

 Boldoggá tenni, Együtt lebegni

 Ölelve lépkedni, Finomakat enni

Tégedet szeretni, Csókot lehelni

Meztelen fürdeni, Kéjesen remegni

Veled felébredni, Örökké együtt élni... 

 ---------------

A hűsítő bor dicsérete

A hőség elől hova meneküljünk?

Túl meleg van már a munkához,

A présház lesz az utolsó menedék

Már a pince ajtajában szomjazunk

A lopóból csorog a mézédes nedű 

Csillog a lusta színpompás köntösében

A víg poháron csillogó cseppek

Magasba emelem a fény felé a bort

A zamatos vér illata, mint a friss szőlő

Fölfelé szállnak a borban a gyöngyök

Orromban muskotályok vad orgiája dúl.

Kéjesen forgatom a számban a kortyot, 

Íze, bizserget mint a tüzes lány csókja

Öreg szívet és szerelmet lángra gyújtja.

A jó bor melódiája, a poharak csengése

A bánatos lelket gyorsan meggyógyítja

A testes bor csitítja a forró vad vágyat

Zamatos ízek és illatok buja harmóniája.

Gyorsan kihörpintjük, hogy újra töltsük

A pohár tele tűzzel lánggal szenvedéllyel

Legyen áldott a földműves vére verítéke

Savanykás, fanyar és hideg a szőlő vére

Az alattomos mámort kikerülni nehéz 

Ne rontsátok el szódával ez Isteni nedűt

Barátságból összekoccan a két hűs pohár 

Elszáll a gond a bánat, a pohár csókjától

A jókedvű búbánatos lesz, a szomorú víg

Barátim, síromra majd szőlőt ültessetek.

 

Köszönöm

 Köszönöm neked a hangodat, A csendet, a szerelmedet,

köszönöm a naplementét, a reggelt és hogy megint élek.

Köszönöm a vigaszt és a könnyet, a jót az édeset a szépet,

Köszönöm a mámort, a forró csókot, a szenvedélyes ölelésed.

Szomorkodom...

Ne kérdezd, tőlem barátom,

Miért ül arcomra fájdalom.

Mi okozza nekem a bánatom,

Csak a boldogságról álmodom.

A világból sugárzik vad szánalom,

De, gúnyolódjon csak, én ráhagyom.

Hiányzik a nyugalom  már nagyon,

Nekem a  szerelem lenne a vagyon.

Születés és halál...

Meztelenül jöttünk a világra,

Valaki mégis megmosdatott.

Fájdalmas volt az érkezésem,

Gyenge esetlen volt a testem,

Semmit sem hoztam magammal.

Egész életemben önző voltam,

Irigy gyűlölködő és büszke,

És most megint ott vagyok,

Ahonnan egyszer elindultam.

Semmit sem viszek magammal,

Megint gyenge lett újra a testem.

Milyen fájdalmas a távozásom.

Valaki még utoljára megmos,

Meztelenül távozom e világból,

Nincs büszkeség, nincs önzés.

Választás

Két út vezet a pokolba,

De, melyiket válasszam?

Sokáig merengtem rajta,

Kétségbe esve magamba,

Árván mint egy bamba.

Némán, és tanácstalanul,

Döntésképtelen makacsul.

Végre mégis célba értem.

A szerelem ára...

Megismertem rejtett báját,

Megkóstoltam édes száját.

Megízleltem csókja nyálát,

Simogattam formás hátát.

És érinthettem finom háját,

Szétnyitotta formás lábát,

Megmutatta kincses tárát.

Nyalogattam mézes málnát,

Csókolgattam nedves táját,

De, meg is kérte jól az árát.

A szerelem szigete

Együtt főzni, együtt enni,

Szeretve boldognak lenni,

Ő érte mindent megtenni.

Életemet a kezébe tenni.

Amire vágyik megszerezni,

Tiszta szívből vele nevetni,

Egymást örökké szeretni,

És együtt világgá menni.

Titokban utódot nemzeni,

Közösen gyereket nevelni.

Egész nap otthon heverni,

Neki örök hűséget ígérni.

Soha betegnek nem lenni,

Nélküle tovább nem élni.

A mennyben együtt lenni,

És örök szerelmet remélni.

Szerelem

Aranyló nyarat hoztad el nekem,

Nélküled sivár lenne az életem.

Itt vagy mellettem, végig velem,

Kedves vagy szívemnek szerelmem, 

Óhajod, és sóhajod örökké lesem.

100 évesen

Én már az Istent csak arra kérem,

Addig éljek, míg még forr a vérem.

Persze, most már kevéssel beérem,

Hűségemért te vagy nekem az érem.

Tudod jól, hogy szeretlek már régen,

Persze tudom hogy lassan már végem.

Az arcom már ráncos, a hajam déren,

De szeretnék hozzád bújni hideg télen.

Remeg a kezem, öreg vagyok idétlen,

Csak némán ülök a vén karosszékben.

Naphosszat csak bámulok előre tétlen,

Szerelmemért a boldogság lett a bérem.

Sírkő 

Szomorúan állunk a sírnál némán tétlenül,

Isten elvett, megbüntetett engem vétlenül.

Csak egy hang egy kép, egy emlék a neved,

Amit tőlünk már soha senki el nem vehet.

Hiába hordjuk a sok szép virágot a sírra,

Azzal téged már mi nem hozhatunk vissza.

Merengés

Vajon mit tennél te érte, az én helyemben? 

Bizonytalanság és kétely van a fejemben.

Gondolataim zavaros óceánjában vergődöm,

Öreg lettem, de mégsem  sikerült felnőnöm.

Talmi értékek tűnnek el a bús fehér habokban,

Az időt nem mérem már régen szép napokban.

Eltűnök csendben a világról végleg és örökre,

Nincs nekem időm már, szánalmas körökre.

Agyamban számtalan furcsa gondolat kopogtat,

Elveszett életemért már senki nem zokoghat.

Remény nélkül, botorkálok botladozva vakon,

Unottan némán, kitekintve egy sötét ablakon.

------------------

Elfeledett sír

Valamikor régen, amikor még éltem,

Azt reméltem hosszú lesz az éltem.

Költő voltam, és most egy jeltelen,

Sírhanton vagyok pihenni kénytelen. 

Névtelen oltár a szélhárfa sóhaja,

Nem száll messze verseim szózata.

Nem hoz már senki virágot a sírra,

Ezt a pár sort egy halott költő írta...

------------

Bűnbocsánat

Isten talán vigaszt ád,

Feloldozást bocsát rád.

A hitet a remény élteti,

Isten a bűnöst bünteti.

A múlt emléke most átölel,

A feltámadás gyorsan jön el.

Nehéz keresztünket visszük,

A reményt és hitet őrizzük.

A padok és könnyek között,

Öregnéni mormol egy imát.

A kegyelem lesz a zsoldja,

Fájdalmát mind ide hordja. 

Szemében a hit lángja ég,

Szívét lelkét tárja szét.

A teste feketébe öltözött,

lelke a mennybe költözött.

-----------------

Kell egy…

Kell egy apa, aki vigyáz rám,

Kell egy hang, ami nyugtat.

Kell egy anya, aki dédelget

Kell egy kéz, ami simogat.

Kell egy vágy, hogy legyek,

Kell egy társ, hogy élhessek. 

Kell egy érintés, hogy tudjam, 

Kell egy csók, hogy érezzem.

Kell egy szív, hogy érezzek,

Kell egy szó hogy higgyek,

Kell egy cél, hogy reméljek,  

Kell egy gyerek, amiért éljek.

--------------

Szerelem

Boldogságot ne keress a nagyvilágban,

Inkább szerelmedben, a nyíló virágban.

Párod, ölelő karjában, csillogó szemében,

Forró vad csókjában, izzó, szenvedélyben. 

-----------

Most is érzem...

Szerelmes szíved dobbanását,

Igéző mosolyod édes varázsát.

Mámoritó szavaid hangját,

Vidám Szemed csillogását.

Piros arcod ragyogását,

Izzó ajkad forró csókját.

Lágy kezed simogatását,

Selymes hajad illatát.

Szenvedélyes tested vágyát,

Karjaid érzéki lágy ölelését.

Forró tested vad remegését,

Fehér bőröd buja érintését.

Gömbölyű melleid puhaságát,

Szemérmes Köldököd titkát.

Szerelmünk kéjes moraját,

A tüzes lánggal égő orgiát.

--------------

A földrajztanár feddése

Gyermekem figyelj az anyagra 

Fontos a könyveknek tartalma

A tudás hat majd az agyadra

Kisfiam ne vágj a szavamba 

Szemed a betűkre tapadva

Tanárod nem ébred haragra

Nem számíthatsz csak, magadra

Tanulj sokat, ébredj öntudatra

De a könyvet unottan lecsapja

Ne légy már ostoba te bamba

A tudás az életed megszabja

A jó szülő gyermekét biztatja

De hiába tanítja a földrajzra...

---------------

Love poem...

 In a realm of love and happiness, 

Where kisses dance, our souls caress. 

With every hug, our hearts entwine, 

A touch of pleasure, a love so divine. 

Passion ignites, an eternal flame, 

Forever burning, without a end. 

In this intoxicated of life we share, 

Bound by love, beyond compare. 

Our life's yourne, a beautiful ride, 

Hand in hand, with love as our guide. 

Through ups and downs, we'll always be, 

Two souls united, eternally free. 

So let's embrace this love so true, 

With every kiss, our bond renews. 

Let our hearts beat as one,

forevermore, In this life of love.

Téliszünet

Szünidő jaj de jó

karácsony az a jó

kalácsban a dió

hull a hó,  hulla jó,

szánkózni volna jó 

Hóember mire jó

Fa alatt minden jó

ajándék,  hű de jó

Harang szó, angyal szól

Ima szó, Áldás szól!

------------

Hálaadás napja és Szenteste között félúton egy bölcső ringatózott,

 Egy angyal elhagyta sugárzó útját És az ajtó mellett állt és kopogtatott.

 Előtte hullámzott a karácsonyi fény, Mögötte örvénylett a szállingózó hó.

 Az ajtó szélesre tárult. Lábán túl Arany fényt áradt a nyestfa, 

Mintha egy kis égi utca lenne felszalagozva az éj mellére. 

A kegyelem és az irgalom maradjon itt karácsonyig!

„Most békesség a földön” – mondta az angyal:

 „Dicsérjétek az Atya Istent és a Fiút!” 

És így a csecsemő feje fölött elkezdődött az ének és a zsoltár, 

 Harc dörgött, Irgalmasság zengett.

 karácsonyi szél, mely ajkát megérintette, 

A karácsonyi lélek, mely melengette a mellét, 

Kialszik ma a földfogyatkozásban

 Még izzik; még mindig vendég,

 – Hangszín tekercsében!, örök éneke:

 „Békesség a földön, jóakarat az embereknek!”

 ------------

Jön a karácsony

Nyoma sincs már a víg nyárnak

Az erdőben hideg szellők járnak

Fehér hósapka alá bújtak a házak,

A fák csak áznak, az őzek fáznak,

Az emberek meg csak nótáznak.

Nincs iskola, csak a tündérálom,

Este már én is a Mikulást várom.

De ha nem jő, hát azt se bánom.

Csak itt legyen velem a párom.

Legyen finom mákos kalácsom, 

És váljon valóra minden álom,

Minden embernek ezt kívánom.

Legyen áldott békés a karácsony.

---------------------

Láttam a világot

Láttam a tengert, csillagként ragyogni,

Láttam a vén erdő fáit, vígan táncolni,

Láttam a békét, az emberek szívében,

Láttam a szerelmet, a lányok szemében,

Láttam a virágokat, fürödni a fényben.

Láttam a csendet, a széllel beszélni.

Láttam a szívedet, szerelmet remélni.

Láttam a vén koldust, meséket regélni,

Láttam a vad szelet, nyárfákon zenélni,

Láttam a jó Istent, ott fenn a kék égen,

Mindenbe őt láttam, amerre csak néztem. 

--------------

A hit

Szól a templom harang

Énekel bent sok angyal

Közétek vígan mennék

Veletek boldog lennék

Krisztusért is tennék

Jézusért én is kiállok

Hallják hangom királyok

Csilingelnek a szánok

Soha semmit nem bánok

-----------------------

Én leszek...

Leszek öreg koldus a templom lépcsőjén

Leszek láthatatlan, mint a vén őszi szél

Leszek könnycsepp mint a harmat a fán

Leszek meleg szellő, amit senki se lát

Leszek bundás kesztyű, mi meleget ád

Leszek furcsa árnyék, ami veletek jár

Leszek apró lámpás a sötét éjszakában

Leszek remete, ki itt él rég magában

Leszek bujdosó, mert a világtól félek

Leszek örökké, mert verseimben élek...

------------------

Nőnapi kívánság!

Kívánunk nektek, csókot százat,

Hófehér menyasszonyi ruhákat.

A feleségeknek a szeretőknek,

A szép lányoknak, a nevetőknek.

A nők mindenkit túlélnek,

Még az ördögtől se félnek

Ha nincs több érvük sírnak,

Pedig ők mindent kibírnak.

A nők a hétköznapi hősök,

A férfiak fáradt öreg ősök.

A nők mindig szeszélyesek,

De ha nem hát veszélyesek.

A férfinak a nő a család,

A nőnek a férfi a varázs.

A férfi szava összeáll mesévé,

A nő álma varázsolja zenévé.

A félénk madár

Egy beteg fáradt, öreg ember,

Nehezen kel, minden reggel.

Bántják már az izzó fények,

A hangoskodó furcsa lények.

Valaha szabad volt, ő is régen,

Nem repdes már a zöld réten.

Sok sok madár, fenn az égen,

Irigykedve búsan, fájón nézem.

Rab madár vagyok úgy érzem,

Szabadságtól nem kell félnem,

Így is sikerült, boldogan élnem.

Zene füleimnek

Édes ajakból mézédes nóta szól,

Jó hangszerből jó muzsika szó.

Ritmusa harmonikus és vidám,

Fülcirógató lágy szép melódiám.

Dallama lágy ütemén víg tánccal,

Ringó csípőjű nimfák nyaklánccal.

Megfázás

Érzékeny tüszős a torkom

Náthától vörös az orrom

A beteg ember sokat köhög

A bacilus meg csak röhög

A nátha pisze orrot csavar

Kínoz, könnycseppet facsar

Meghűltem ez lett a sorsom,

Mentollal hűtöm a torkom

Lázas testem izzad forrón

Enyhülést hoz a meleg tea 

Az egészség lesz a trófea

Meleg ágyba bújtam hátha

Végre elhagy a rút nátha.

Mibül lesz a ...

Disznóból lesz a szalonna,

Buzábul liszt a malomba.

Jégesőből meg a pocsolya,

Disznó lábbul a kocsonya

Szépasszonnak a babája,

Kisbabának a mamája.

Vén asszonnak a hája,

A kislyánynak a bája.

A legénybül lesz az apa,

A kezibe termett a kapa.

A lyánybul lesz az anya,

Anyósbul meg a banya.

A sírhely

A temetőben megint új sírt ásnak,

Nem maguknak inkább másnak.

Ha már az élők között nincs hely

Itt mindenkinek jut egy sírhely.

Itt nem számít hogy szegény gazdag

Dőzsölők vagy nyomorultak voltak,

Itt mindenkinek jut ingyen pamlag

Szenvednek az élők és némák a holtak.

Régen sír volt itt füves, gazos, horpadt,

Kiásták újra, mert kell a hely a holtnak.

A halál

A halál végtelen az élet reménytelen

Ismerem a nyár hevét, a tél havát,

A bús nappalt és a sötét éjszakát.

Ha meghalok majd, mélyre ássatok

Fáradt testem meg soha ne lássatok.

Itt fekszem a hideg földön részegen 

Holtan kábultan, vagy csak félszegen

Legyen ez az utolsó...

Utolsó könny az arcomon

Utolsó csókot adok neked

Utolsó sóhajom száll feléd

Utolsó napunk már együtt

Utolsó dal, amit hallunk

Utolsó pohár pezsgőnk

Utolsó szerelmes ölelés

Utolsó pillantás arcodra

Utolsó perc az életemből

Utolsó jaj és végem van.

Az utolsó szó; szeretlek.

Nőnapi merengés

A nő a férfinak örök talány. Képtelenség megérteni,

Sosem tudja mit gondol, mit szeretne, mit mond,

Mit tesz, mire vágyik, nem ismerhetjük ki őt soha.

Ha a húgocskám, akkor angyali játékos és vidám,

Ha nővér akkor megvédelmez minden rossztól

Ha Édesanya, akkor ápol ha beteg vagy és felnevel,

Ha Feleség, akkor szenvedélyes vad  és szerelmes,

Nagyiként, összetartja a széthúzó családunkat,

Miért? Mert a NŐ a szeretet, a báj és a finomság,

Az érzelem és a hit, a béke és a remény, a szeretet

Az élet értelme az otthon melege, a család alapja.

Isten adománya, természetes hogy van nekünk, 

Nélküle értelmetlen és üres lenne az életünk

A nő az emberiség bölcsője és menedéke,

Egy testben ördög és angyal, tündér és boszorkány,

Etet, tanít, ringat kényeztet és a sírba visz,

Hős amazon ha gyermekét védeni kell

De ha szerelemre ébred, szelíd illatos virág...

Bolyongó lélek

Halotti lepelként a hófehér bársony takaró,

A temetőt ünnepi ruhába öltöztetni akaró.

Se élet, se árnyék, se hit, se bánat, se remény,

A hajnali magány itt hideg nyirkos kemény.

Halkan motyogva kábán, bóbiskolva álmosan,

Árva lélek a sírok között botladozva bolyong.

Csak céltalanul rovom a temetőben a köröm,

Se szó, se hang, se csók, se könny, se öröm.

A halott kiszolgáltatott és gyámoltalan árva,

Magányos, bús elhagyott a sírok között járva.

Egy bágyadt szellem tévelyeg némán a földön,

Elveszetten a névtelen kopott kövek között.

A vén sír, már megrepedt, ledöntötte rég a szél,

Benőtte a penész, a gaz, nincs rajta már szöveg,

Hervadt virág, száraz koszorú, itt vajon kiholt?

De, senki se tudja hogy ebben a sírban  kivolt.

Mi értelme?

Ha akkor halunk meg amikor már mindent tudunk

Akkor az élet pazarlás, a tanulás felesleges kunszt

De hát akkor minek születtünk ha úgyis meghalunk

Magyarázza már meg valaki, hogy miért? Ki érti ezt?

Parkinson elveszi az erőt, az Alcheimer pedig az észt.

Mondd meg már, mi értelme akkor az emberi életnek?

Örökké tovább él egy megtermékenyített petesejtünk?

A tudás egy része megmarad, a többi odalesz örökre.

Ez az én utam

Mint apró porszemet sodor a szél

Lobogok, mint parázs a sötétben

Eltűnök mint a fáradt tavaszi hó, 

Felolvadok mint a cukor a vízben

Elveszek mint erdőben a gyerek

Mint tikkadt só a hideg tengerben

De viszem tovább a pislogó fáklyát.

Meggyújtom vele a hatalmas máglyát.

Elmúlás

Megint elment hát egy lélek,

Most én jövök, attól félek.

Felébredek, hát még élek,

Biztos élek, mert beszélek.

Meghalnak, gazdagok szegények,

Szerte foszlottak a hiú remények.

Elvész a méltóság és az erények,

Az emberek ilyenkor szerények.

Nem is tudom, mit remélek,

Szomorúan, bánatosan nézek.

Kaszás, még egy napot kérek,

Ugyan, kellesz is te a fenének.

Ez a hazám

Nekem ott a hazám ahol épp vagyok,

Ott a népem nemzetem ahol lakok.

Ott a világ, ahol a földjeink terülnek,

Ott a legjobb, ahol a nyelv körülvesz.

Csak addig, míg a szelíd szem lát,

Ahol az anyaföld édes kenyeret ád.

Egész odáig, ameddig az ég kéklik,

Ha leszáll az est, az erdő sötétlik.

Őzek az erdőben, halak a folyóban, 

Kalács a tepsiben, szőlő a hordóban.

Itt állok, büszkén ahol az ég beborul,

Ahol a magyar imádkozni leborul.

Ez a föld mindennél drágább nekünk,

Hazám, mindennél jobban szeretünk.

Az egész világban messze földön járok,

Kóborlok, de végül mindig haza találok.

Valamikor régen itt őseink lehettek,

Itt éltek, haltak, mulattak, szerettek.

Házat építettek, szántottak vetettek.

Vitézül harcoltak, hősöket temettek.

Itt büszke bárdok védték a határt,

A földeket örökségül ránk hagyák .

S most őrséget büszkén mi állunk,

Így talán, mi is hősökké vállunk...

Nőnapi köszöntő!

Köszöntöm hát most a nőket!

Mert kiváltság szeretni őket.

Az anyákat,és a szülőket,

Az öregeket, a csecsemőket.

A nagyokat a cseperedőket,

A csendeseket a cselszövőket.

A szelídeket, a csellengőket,

A félénkeket a bátor nőket.

A vágyakozókat a szeretőket,

A pletykásokat a perlekedőket.

A törtetőket, a törekvőket,

A vékonyakat a dús nőket.

A modelleket a táncosnőket,

a boszorkányokat, a sellőket.

A hercegnőket a királynőket,

A szívünkbe kell zárni őket!

Nőnapi kívánság!

Kívánunk nektek, csókot százat,

Hófehér menyasszonyi ruhákat.

A feleségeknek, a szeretőknek,

A szép lányoknak, a nevetőknek.

 

A nők mindenkit túlélnek,

Még az ördögtől se félnek

Ha nincs több érvük sírnak,

Pedig ők mindent kibírnak.

 

A nők a hétköznapi hősök,

A férfiak fáradt öreg ősök.

A nők mindig szeszélyesek,

De ha nem hát veszélyesek.

 

A férfinak a nő a család,

A nőnek a férfi a varázs.

A férfi szava összeáll mesévé,

A nő álma varázsolja zenévé.

 

A Tiszavirág 

Legyen időd kicsit megállni, 
A hatalmas Tiszát csodálni.
Estig nézni a tiszavirágot,
Megismerni e mesés világot.
 
Felismerni benne a szépet,
Bámulni, mint a szentképet.
Milyen szép is a természet,
De ritkán van benne részed.
 
Nekik csak egy nap a világ,
Hamar elhervad ez a virág.
Ringatja lágyan édes vizét,
Alig ismeri meg az élet ízét.

A víz felett a szerelem virágzik,

Milliónyi kérész vígan játszik.

Hamarosan itt a tavasz, látszik,

A komor Tisza végre kivirágzik.

 

Csábítás

Drága hölgyem kérem szépen,

Randizz velem mindenképpen.

Ölelő karjaimban itt az ős erő,

Én vagyok neked az igaz szerető.

Remélem én leszek vele a nyerő,

Nem vagyok túl okos, értem én?

Ha nem lenne itt velem, féltemén,

Más lesz a férjed? Miért nem én?

Ha okosabb lennék se érteném.

Örülök hogy te veled lehettem

Melletted olyan sokat nevettem.

Vége

Befejeztem mostmár éltemet,

Nem tanítom már a népemet.

Koporsóra tették a képemet,

Meghagyták az örök létemet.

Nem kérem már a béremet,

Szívjátok csak a véremet,

Örökké bántani nem lehet.

Kevés jó barát majd eltemet,

Mély sírba dobják testemet.

Láthatod majd a vesztemet,

Olvasd csak el a versemet,

Megismered majd a lelkemet.

Az emberek nem ismernek el,

Az elismerésük nem is kell...

Az életet álmodom tovább

Hogy újra éljem a csodát.

A hajléktalan

Egy fájdalmas koldusszendvics a járdán kuporogva,

Egy hajléktalan két papírkarton között megbújva.

Csuklóján minden vagyona egy szakadt szatyorba,

A savanyú hideg kannás bor szelíden álomba ringatta.

Megitta mind, ne hogy ellopják a maradékot míg alszik,

A kóbor kutyát, mint forró kályhát magához szorítja. 

Álmában szája szélét nyalja, Szép  tiszta ruhában ül,

fehér asztalnál étkezik, már nem fázik és nem éhezik.

Igyekszik jóllakni mert, ez az élet számára nem létezik,

Álmában mezítláb sétálgat a hófehér suba szőnyegen.

A kandallóban pattog a tűz, testét elönti a melegség,

Amíg a bor fátyla fel nem száll, emberként éli világát.

Nem látta senki, csak én és talán a könyörületes Isten...

Tanulj meg fiam...

Tanulj meg könny nélkül sírni.

Szép verset, könyv nélkül írni,

Szemrebbenés nélkül hazudni,

Ha besároznak ruhát cserélni.

Sohasem gyűlölni csak szeretni,

És mindenkinek megbocsátani.

Ha úgy fáj, akkor sem beszélni,

Ha megbántanak, csak nevetni,

És Istentől kegyelmet remélni.

Áll meg öreg egy kicsit

A sírok között a gyászoló menet, némán halad, 

Előtte a dombra egy díszes, fekete kocsi kaptat.

Ne bámulj, bambán, eljön majd érted is a halál,

Inkább imádkozz öreg! - Mert készületlenül talál.

Nem rémiszt már akkor a siratóasszonyok hada,

Nem bánt már téged bánatos, fájó énekük dala.

Nem láthatod már milyen a gyászhuszárok sora,

Hordóban marad gazduram, mulatós tavalyi bora.

Hosszú útra indulok most veled,

Régen ismerem már a neved. 

Kharónnal az öreg  mogorva, 

sovány révésszel, indulok el, 

Ő, Erebosz és Nüx gyermeke, 

Egy obolosz érméért már átvisz,

Öreg ladikjában a tomboló folyón, 

Nem akarok  itt tovább bolyongni.

 

A zabi gyerek

Felelőtlen szertelen,

Hát hiába az intelem!

Hol van most az értelem, 

Nem fontos a védelem?

Szenvedélyük féktelen, 

Az ostobaság végtelen.

Egy apró élet meztelen, 

Megszületni kénytelen.

Szegény baba névtelen, 

Apám anyám nincs velem.

Némán fekszik nesztelen,

 Nincs benne még félelem,

 A sorsa így reménytelen.

Álmomban is csak te rád gondolok

Csillogó szemed most rám mosolyog

Sétálok veled és a kezedet fogom 

Csípődet ölelem a szádat csókolom