A homomorfizmus két azonos típusú algebrai struktúra szerkezetmegőrző leképezése. A matematikában, különösképpen az absztrakt algebrában, homomorfizmusnak nevezünk minden művelettartó leképezést két algebrai struktúra között. Így egyebek mellett homomorfizmus egy rendezéstartó leképezés, egy lineáris transzformáció, vagy egy csoporthomomorfizmus. Két algebrai struktúrát homomorfnak, olykor hasonlónak nevezünk, ha létezik köztük homomorfizmus. A homomorfizmus valamilyen primitív struktúraosztály egy tagján (valamely konkrét struktúrán) alkalmazva, általában megőrzi a primitív osztályt (a struktúra képstruktúrája is ugyanazon primitív osztályba tartozik), vagyis pl. egységelemes csoport homomorf képe egységelemes csoport. A konkrét struktúra azonban megváltozhat (a kép nem feltétlenül izomorf az eredetivel).Legyen adott két struktúra, a struktúrában valamely elemek közt valamilyen reláció áll fenn, akkor ezen elemeik képei a B struktúrában is a megfelelő relációban állnak.
Azokat az endomorfizmusokat, amik egyúttal izomorfizmusok is, automorfizmusoknak nevezzük. Az egyes struktúrák közti homomorfizmusok elnevezései: A rendezett és a részbenrendezett halmazok közötti homomorfizmusok a rendezéstartó relációk. A csoportok közti homomorfizmusok a csoporthomomorfizmusok. A gyűrűk közti homomorfizmusok a gyűrűhomomorfizmusok. Speciális gyűrűhomomorfizmusok a könnyen rendszerezhető testhomomorfizmusok, amelyek testek között hatnak. A vektorterek közötti homomorfizmusok a lineáris leképezések. A modulusok közti homomorfizmusok a modulushomomorfizmusok. Az algebrák közti homomorfizmusok az algebrahomomorfizmusok.
Példa
És végül a kategóriák közti homomorfizmusok a funktorok. Csoportokban, gyűrűkben, vektorterekben hagyományosan az egységelem illetve nullelem ősképét nevezzük a homomorfizmus magjának. csoport olyan részcsoportját, ami homomorfizmus magja lehet, normálosztónak nevezzük, Abel-csoport minden részcsoportja normálosztó. Gyűrű olyan részgyűrűjét, ami homomorfizmus magja lehet, ideálnak nevezzük. Testeknek csak két triviális ideálja van, a nullelem és a teljes test, így minden nem triviális testhomomorfizmus automorfizmus. Vektortér minden altere lehet lineáris leképezés magja. A lineáris algebrában a homomorfizmustétel következménye a dimenziótétel. A szimmetrikus csoportban minden permutációhoz az előjelét rendelve homomorfizmust kapunk, aminek a magját a páros permutációk képzik, a faktorcsoportja pedig a kételemű ciklikus csoporttal izomorf. Az egészek gyűrűjében minden számhoz az n szerinti maradékosztályát rendelve homomorfizmust kapunk, az általa képzett faktorgyűrű a mod n számok gyűrűje, aminek az additív csoportja az n-edrendű ciklikus csoport. 
A grupoidot az eredeti grupoidok direkt szorzatának nevezzük. Az előző definíció grupoidok helyett más algebrákra is megadható, és nem csak három, hanem tetszőleges (véges) számú algebra esetén is érvényes. A grupoidot egy bináris parciális függvényt tartalmazó halmazból álló algebrai szerkezetnek tekinthetjük .
Nincsenek megjegyzések:
Megjegyzés küldése