Számábrázolás – Lebegőpontos számok

Lebegőpontos ábrázolást akkor használjunk, ha túl nagy/kicsi számokkal, illetve ha pontosan (törtekkel) akarunk számolni. Ez az ábrázolás a hatványkitevős felíráson alapszik. Minden szám fölírható ún. exponenciális alakban, méghozzá végtelen sok féleképpen is. Például:

1234 = 1,234*10³ = 12,34*10² = ... = 0,1234*10^-4 ... A tizedes vessző/tizedespont "lebeg".
Egy tetszőleges szám tehát fölírható az

e•M•p^k

alakban, ahol:

• e ∈ {-1, +1} (Szokás ezt s-sel is jelölni. s = signum)
• M a mantissza, 1/p ≤ M < p
  • Ez decimálisban 0,1 ≤ M < 1, míg binárisban 0,5 ≤ M < 1
  • A törtvonaltól/törtponttól jobbra álló szám nem lehet 0!!!
  • Ha egy szám eleget tesz a fenti két pontnak, akkor a szám normál formájú.
• p a számrendszer alapszáma
• k a karakterisztika (Szokás exponensnek is hívni.)

Az ábrázolásnál előnyös a 0 egészes kezdés, mert így nem kell ábrázolni a szám egész részét! A kettes alapra való normalizálás azt jelenti, hogy a kettesdes pontot úgy választjuk meg, hogy az egészrész 0 legyen, míg a tőle jobbra álló első kettedes jegy pedig 1 legyen!
Kettes alapra normálizált esetben a mantissza 2^-1 helyiértéke mindig 1, így azt fölösleges ábrázolni. Ezt a megvalósítást hívják rejtett egyes technikának. Ez csak kettes alapra normált esetben alkalmazható!!! A felszabadult helyen tárolhatjuk az előjelbitet (vagy növelhető az ábrázolás pontossága).
A mantisszát előjelnélküli számként szokták tárolni.
Napjaink számítógépein az Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) által az 1980-as években kiadott IEEE-754 szabvány a meghatározó. Eszerint az egyszeres pontosságú (32 bites) számokat a következő alakban tárolják:

bitek sorszáma
31	30	29	28		27	26	25	24		23	22	21	20		19	18	17	16		15	14	13	12		11	1	9	8		7	6	5	4		3	2	1	0
e	k	k	k		k	k	k	k		k	M	M	M		M	M	M	M		M	M	M	M		M	M	M	M		M	M	M	M		M	M	M	M

A matissza és a karakterisztika szokásos tárolását az alábbi táblázat mutatja:

típus	pontosság	hossz	biteloszlás	nulla pont	Pascal	C/Java
egyszerű pontosság	6-7 jegy	32	1-8-23	127	single	float
dupla pontosság	15-16 jegy	64	1-11-52	1023	double	double
bővített pontosság	19 jegy	80	1-15-1-63	16383	extended	longdouble

Egy számról tehát 4 dolgot kell eltárolni:

1. a szám (mantissza) előjele
2. a mantissza abszolút értéke
3. a kitevő előjele
4. a kitevő abszolút értéke

• A 31. bit a szám előjele: 0 - pozitív, 1 - negatív
• 24-30. bit az előjeles kitevőt tárolja
• 0-23. biten ábrázolják a mantisszát

A mantissza tárolásánál két megoldás terjedt el.

• Az IBM gépcsaládnál a normálást megelőzően a bináris számot hexadecimálisba váltják és így végzik a normálást. (Vagyis a törtpont utáni 1. hexa számjegynek kell 0-tól különböznie!)
• A PDP típusú gépeknél egyből a bináris számot normálják.

Példa_1:

11100010.1001₂ = 0.111000101001₂ * 2⁸ Ez tehát egy binárisan normált alak.
Ebben az esetben a mantissza: 111000101001
A kitevő 7 biten: 0001000

Példa_2:

0.0001₂ = 0.1₂ * 2^-3
A bináris normáláskor a mantissza legmagasabb helyiértékű bitje mindig 1. Ezt a bitet fölösleges eltárolni, vagyis a 23. bitet nem használják a mantissza ábrázolásásra. Ehelyett inkább összevonják a 24-30. bitekkel. Így most már a kitevő ábrázolására használható a 23-30. bit. Általánosan alkalmazott módszer, hogy a szám kitevőjét hozzáadják az 10000000 bináris (=128) számhoz és ezt az összeget tárolják el azon a bizonyos 8 biten. (Ez a fixpontos ábrázolásnál már megismert "eltolt" módszer.)
Például, ha a kitevő -3, akkor: -3₁₀ = -11₂
A tárolt érték 8 biten (23-30. bit):

 10000000
-00000011
---------
 01111101

Ennek a módszernek az előnyei (állítólag :-)) a gépi aritmetika megvalósításánal érzékelhetők. Biztosan így van. :-)))

Példa_3:

Ábrázoljuk a 179,375 decimális értéket 4 bájton, lebegőpontosan, kettes alapra normáltan, 8 bites karakterisztikával, a lehető legnagyobb pontossággal! A bájtok tartalmát hexadecimálisan adjuk meg!

179 = 10110011₂
0,375 = 0,011₂
Tehát: 179,375 = 10110011.011₂
Ez normált alakban: 0.10110011011 * 2⁸
Az előjel tehát pozitív: e = +1, vagyis a 31. bit 0.
A karakterisztika: k = 8, vagyis ehhez hozzászámítva az eltolást, ami 128 (8 biten ennyi az eltolás), kapjuk azt, hogy 136-ot kell a 23-30. biten ábrázolni. 136 = 10001000₂
A mantissza: M = 0.1011001101 Az első 1-est nem szokták ábrázolni (ugyanis a normálás miatt az mindig 1), így a 0-22. bit tartalma: 011001101
Ez egy kicsit szebben:

bitek sorszáma
31	30	29	28	27	26	25	24	23	22	21	20	19	18	17	16	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Ha az a feladat, hogy a végeredményt hexadecimálisan adjuk meg, akkor a fenti ábrázolás eredménye: $44334000

Példa_4:

Melyik számot tárolja a gép a következő formában?

1

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

(Ez hexában: $C4AFD000)

Mivel a 31. bit 1, ezért a szám negatív.
A 23-30. bit: 10001001. Ez 137-tel egyenlő. Az elolt ábrázolás miatt a karakterisztika 9. (137-128)
A 0-22. bit: 0110 1111 1101 0000 0000 0000
Ez utóbbi elé elé kell írni egy 1-est, mert a normalizálás miatt azt nem ábrázoltuk.
Az így kapott szám tehát: 1 0110 1111 1101 0000 0000 0000
A bináris pontot 9-cel jobbra lebegtetve kapjuk a 1 0110 1111. 1101 0000 0000 0000 számot.
Ezt visszaírva decimálisba megkapjuk a 367,8125-et. Vagyis ezt a számot tárolta a gép. :-)